Un hombre ahorra cada año los 2 / 3 de lo que ahorró el año anterior, si el 5 año ahorro $160?

Es una progresión geométrica (PG) y del texto se desprenden los siguientes datos :

→ Nº de términos de la PG.

N = 5 (porque habla del 5º año)

→5º término de la PG.

A₅ = 160 (lo que ahorró el 5º año)

→ Razón de la PG .

R = 2 / 3 (es el nº por el que se multiplica cada término para hallar el siguiente)

Acudiendo a la fórmula del término general de las PG.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20" />

Para saber lo que ahorró durante los 5 años necesito saber el primer término y luego aplicar la fórmula de la suma de términos.

Por tanto, despejo a₁ de esa fórmula, sustituyo datos y resuelvo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D%20%5Cfrac%7Ba_n%7D%7B%20r%5E%7Bn-1%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_1%3D%20%5Cfrac%7B160%7D%7B%282%2F3%29%5E%7B5-1%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B160%7D%7B%20%5Cfrac%7B2%5E4%7D%7B3%5E4%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B160%2A81%7D%7B16%7D%20%3D10%2A81%3D810" />

La fórmula de la suma dice :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7Ba_n%2Ar%5C%20-%20%5C%20a_1%7D%7Br-1%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20S_5%3D%20%5Cfrac%7B160%2A%282%2F3%29%5C%20-%20%5C%20810%7D%7B%282%2F3%29-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%28320%2F3%29-810%7D%7B-1%2F3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%28-2430%2F3%29%7D%7B-1%2F3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-810%7D%7B-1%2F3%7D%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D810%2A3%3D2430" />

La respuesta es $2.

430

Saludos.