Un hexágono regular esta inscrito en una circunferencia de radio 10 cm?

Hay que hallar las dos áreas y restarlas.

Para el círculo solo es aplicar la fórmula :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%20%5Cpi%20%2Ar%5E2%3D3%2C1416%2A100%3D%20314%2C16%5C%20cm%5E2" />

Para el hexágono, tenemos el dato del lado ya que coincide con el radio de la circunferencia circunscrita, por tanto el lado del hexágono

también mide 10 cm²

Sabiendo el lado y sabiendo que en los hexágonos regulares, el lado y los dos radios trazados a vértices consecutivos forman un triángulo equilátero, se puede calcular el área de uno de los triángulos equiláteros y multiplicarla por 6 triángulos que tiene el hexágono.

Acudo a una fórmula que, basada en el teorema de Pitágoras, me da el área del equiláteroen función del lado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%20%5Cfrac%7Bl%5E2%2A%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20" />

Como son 6 triángulos sustituyo el valor del lado y multiplico por 6 en la misma fórmula :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bhexagono%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B6%2A10%5E2%2A%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%3D1%2C5%2A100%2A%20%5Csqrt%7B3%7D%20%3D257%2C595%5C%20cm%5E2" />

Finalmente se restan las áreas :

314, 16 - 257, 595 = 56, 565 cm² es la respuesta.

Saludos.