Hola!
Para hallar la respuesta a este ejercicio debemos entender qué es lo que plantea el enunciado : El fabricante vende escobillones a 8 s / .
Por unidad :
Es decir que la función de sus ingresos I(X) viene dada por el precio de venta por el número de escobillones vendidos X.
Es decir : I(X) = 8X Los costos fijos son de 5000 s / .
Y el costo variable por unidad es de 2, 45 s / .
:
Es decir que la función de sus costos totales C(X) viene dada por los costos fijos más los costos variables por el número de escobillones producidos.
En este caso : C(X) = 5.
000 + 2, 45X Para determinar la producción en el punto de equilibrio debemos saber que el punto de equilibrio se logra cuando los costos son iguales a los ingresos, es decir que debemos igualar ambas funciones y despejar la X para hallar la producción que hace que el fabricante no gane ni pierda :
I(X) = C(X)
8X = 5.
000 + 2, 45X
8X - 2, 45X = 5.
000
5, 55X = 5.
000
X = 900, 9 ≈ 901
I(X) = 901(8)
I(X) = 7.
208 s / .
R : Es decir que la producción en el punto de equilibrio debe ser de 901 escobillones y los ingresos totales serían 7.
208 s / .
Ahora.
Para determinar la función de utilidad debemos saber que la utilidad real está dada por los ingresos menos los costos o gastos que tiene el fabricante.
Es decir que U(X) = I(X) - C(X)
Y si sustituímos tenemos que :
U(X) = 8X - (5.
000 + 2, 45X)
Para evaluar la función de la utilidad cuando se fabrican y venden 1.
800 escobillones reemplazamos en la función anterior el valor de X y decimos que :
U(X) = 8X - (5.
000 + 2, 45X)
U(X) = 8(1.
800) - [5.
000 + 2, 45(1.
800)]
U(X) = 14.
400 - (5.
000 + 4.
410)
U(X) = 4.
990 s / .
Es decir que cuando se fabrican y venden 1.
800 escobillones, la utilidad es de 4.
990 s / .
Finalmente, para determinar la producción requerida para ganar 10.
000 s / .
Debemos reemplazar en la función de la utilidad los 10.
000 s / .
Y despejar el valor de X.
De esta forma :
U(X) = 8X - (5.
000 + 2, 45X)
10.
000 = 8X - (5.
000 + 2, 45X)
10.
000 + 5.
000 = 8X - 2, 45X
15.
000 = 5, 55X
X = 2.
702, 7 ≈ 2.
703
Es decir que para ganar aproximadamente 10.
000 s / .
La producción debe ser de 2.
703 escobillones
Saludos!