En el punto (A), el centro nos lo da el problema es (10, 12), en el (B) el radio de la circunferencia es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%5Cfrac%7B57%7D%7B%5Csqrt%7B17%7D%7D" />.
En cuanto al (C), en una circunferencia, la ecuación ordinaria es la siguiente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-x_0%29%5E2%2B%28y-y_0%29%5E2%3Dr%5E2" />donde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x_0%2Cy_0%29" /> son las coordenadas del centro y r es el radio, esta ecuación ordinaria será lo más inmediato para hallar, y para el (D) no hay más que desarrollar los cuadrados de los binomios en esa ecuación.
Vamos a explicar paso a paso como obtenemos estos resultados : A) El centro del engrane es el que da el problema <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2810%2C12%29" />.
B) En este punto vamos a tener en cuenta que en toda circunferencia el radio es perpendicular a la circunferencia y por ende a la recta tangente.
Con lo que hay que encontrar la longitud de un segmento perpendicular a la recta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=24x%2B6y%2B30%3D0" />Y que pase por (10, 12) que es el centro.
Para hallar el vector director de la recta, pasamos de la ecuación implícita a las ecuaciones paramétricas, con lo que empezamos encontrando dos puntos, uno de x = 0 y otro de y = 0 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=24.0%2B6y%2B30%3D0%5C%5C6y%2B30%3D0%5C%5Cy%3D-5%2C%20x%3D0%5C%5C24x%2B6.0%2B30%3D0%5C%5C24x%2B30%3D0%5C%5Cx%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2C%20y%3D0" />Con lo que encontramos que pertenecen a la recta los puntos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%280%2C-5%29%3B%20%28-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2C0%29" />Y el vector director de esta recta será paralelo segmento que une esos dos puntos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=v_d%3Dk%28x_1-x_2%2Cy_1-y_2%29%3Dk%280-%28-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%29%2C-5-0%29%3Dk%28%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2C-5%29%3D%281%2C-4%29" />Este es el vector director de la recta dada, ahora podemos hallar la recta que contiene al radio, que es la recta que es normal a esta y pasa por el centro, para que dos vectores sean normales su producto escalar debe ser cero, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=v_d2.v_d%3D0%5C%5C%28x_p%2Cy_p%29.%281-4%29%3D0%5C%5Cx_p-4y_p%3D0" />Uno de los vectores que cumple con ello es (4, 1), las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al radio son : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D10%2B4%5Clambda%5C%5Cy%3D12%2B%5Clambda" />Ahora las reemplazamos las ecuaciones paramétricas de la recta normal en la de la recta que nos dieron para hallar el punto de cruce que es a su vez un punto de la circunferencia buscada[img = 10]En la ecuación vectorial queda : [img = 11]Con lo que queda en claro que el radio del engranaje, o sea la distancia del centro al punto de cruce de la recta tangente con la recta normal que pasa por el centro es[img = 12]c)Entonces queda que la ecuación ordinaria de la circunferencia es : [img = 13]Donde [img = 14] es el centro y r el radio queda : [img = 15]D)Para hallar la ecuación general desarrollo los cuadrados : [img = 16].