Un avión sobrevuela una montaña de 3250 msnm a 270 m por encima de su cumbre?

Descenso del paracaidista en una atmósfera uniformeCuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, y las ecuaciones del movimiento son las estudiadas en la páginacaída de los cuerpos.

Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Caída libre antes de la apertura del paracaídasEl paracaidista está sometido a la acción de su propio peso.

El empuje del aire se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo.

Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño.

Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el lugar de lanzamiento y el eje X apuntando hacia arriba).

A = - g v = - gt x = x0 - gt2 / 2Cuando se ha abierto el paracaídasEl paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Ma = - mg + kv2La constante de proporcionalidadk = ρAδ / 2res la densidad del aire.

Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.

29 kg / m3.

Aes el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, des un coeficiente que depende de la forma del objetoEn la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetosForma del objetoValor aproximado dedDisco circular1.

2Esfera0.

4Avión0.

06Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores dados para estas dos formas en la tabla, es decir, d = 0.

8. Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constantevl, que se obtiene cuando el peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la aceleración es cero.

- mg + kv2 = 0El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en las figuras.

Ecuación del movimientoLa ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de la formaIntegramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidadvdel móvil en cualquier instantet.

Las condiciones iniciales son : v0es la velocidad del paracaidista en el instantet0en el que abre el paracaídas.

Para integrar se hace el cambiov = z·vl.

Se deshace el cambio y se despejaven función del tiempo (t - t0), Se llega después de algunas operaciones a la expresión.

Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la velocidad, haciendo un cambio de variableLa ecuación del movimiento se transforma enQue se puede integrar de forma inmediataLa alturaxdel paracaidista en función de su velocidadvesDespejamos la velocidadven función de la posiciónxdel paracaidista.

ActividadesSe introduceLa masamdel paracaidista en el control de edición tituladoMasa del paracaidistaEl área del paracaídas en el control de edición tituladoÁrea del paracaídasSe pulsa el botón tituladoEmpiezaSe pulsa el botón tituladoAbre paracaídaspara que el paracaidista frene su caída libre al abrir el paracaídas.

El círculo rojo representa al paracaidista en caída libre, el mismo círculo rodeado de un contorno de color azul indica que ha abierto el paracaídas.

Se representa las fuerzas sobre el móvil : En color rojo, la fuerza constante del peso.

En color azul, la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Cuando ambas flechas son iguales, la velocidad del paracaidista es constante e igual a la velocidad límite.

Observar que la velocidad límite es independiente de la altura a la que abre el paracaídas.

Para determinar la dependencia del valor final de la velocidad con el peso del paracaidista y el área del paracaídas.

Se mantiene constante el peso del paracaidista, incrementando el área del paracaídas

Se mantiene constante el área del paracaídas, incrementando el peso del paracaidista.

Ejemplo : Masa del paracaidista dem = 72 kg, Área del paracaídasA = 0.

6 m2El paracaidista parte del reposo desde la posiciónx = 2000 mAbre el paracaídas en la posiciónx = 1000 m, sobre el suelo.

Calcular la velocidad con la que llega al sueloLos datos para calcular la velocidad límitevlson : Densidad del airer = 1.

29 kg / m3Coeficiente de formad = 0.

8Aplicando las ecuaciones de caída de los cuerpos, calculamos la velocidad cuando el paracaidista alcanza la posiciónx = 1000 m1000 = 2000 - 9.

8·t2 / 2

v = - 9.

8·tv = - 140 m / s.