Respuesta : 1.
Sean a, b, c, d ∈ Z.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
Si son verdaderos,
probar el resultado, y si son falsos, dar un contraejemplo.
(1) Todo n´umero entero tiene un n´umero finito de divisores.
(2) Si a | b + c, entonces a | b y a | c.
(3) Si a | b y a | c, entonces a | b − c.
(4) Si a | b + c y a | b, entonces a | c.
(5) Si a | bc, entonces a | b ´o a | c.
(6) Si a - bc, entonces a - b y a - c.
(7) Si a | b y c | d, entonces ac | bd.
2. Encu´entrense los n´umeros q y r, garantizados por el algoritmo de la divisi´on, para las siguientes parejas
de n´umeros a, b :
(1) a = 434, b = 31.
(2) a = 23, b = 7.
(3) a = 47, b = −6.
(4) a = 59, b = 12.
(5) a = −12, b = 59.
(6) a = −59, b = −12.
3. Usando el algoritmo de la divisi´on, demuestre que
(1) Todo entero impar es de la forma 4k + 1 o 4k + 3 donde k ∈ Z.
(2) Todo entero impar es de la forma 6k + 1, 6k + 3 o 6k + 5 donde k ∈ Z.
4. Demuestre que
(1) Cualquier entero de la forma 6k + 5 es tambi´en de la forma 3m + 2, pero no al rev´es.
(2) El cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k + 1.
(3) El cuadrado de cualquier n´umero impar se puede expresar como un n´umero de la forma 8n + 1.
(4) El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9k + 1 o 9k − 1.
5. Demuestre que para todo n ∈ Z se cumple :
(1) 2 | n
2 − n
(2) 6 | n
3 − n
(3) 30 | n
5 − n
(4) 4 - n
2 + 2
(5) 4 - n
2 − 3
6.
Sea n es un entero impar.
Demuestre que
(1) 8 | n
2 − 1 ;
(2) Si 3 - n, entonces 6 | n
2 − 1
7.
Sean n un natural y a y b enteros cualesquiera.
Demuestre que
(1) a − b | a
n − b
n
.
(2) Si n es impar, entonces a + b | a
n + b
n
.
(3) Si d | n, entonces a
d − b
d
| a
n − b
n
.
8. Demuestre los siguientes criterios de divisibilidad :
(1) Un n´umero es divisible por 2 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es par.
(2) Un n´umero es divisible por 3 si y s´olo si la suma de sus d´ıgitos es m´ultiplo de 3.
(3) Un n´umero es divisible por 4 si y s´olo si sus ´ultimos dos d´ıgitos son 00 o forman un n´umero divisible
por 4.
(4) Un n´umero es divisible por 5 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es 0 ´o 5.
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(5) Un n´umero es divisible por 8 si y s´olo si sus ´ultimos tres d´ıgitos son 000 o forman un n´umero
divisible por 8.
(6) Un n´umero es divisible por 9 si y s´olo si la suma de sus d´ıgitos el m´ultiplo de 9.
(7) Un n´umero es divisible por 10 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es 0.
9. Encuentre criterios para determinar si un n´umero entero es divisible por 6, 7, 11, 12 ´o 13, y demu´estrelos.
10. En cada uno de los siguientes casos exprese n en base b.