1) El vector unitario λ en la dirección opuesta a u está dado por :
λ = - (u) / (|u|)
donde |u| es la magnitud de u, veamos : |u| = √( 2² + 6²) = √(40) = 2√10, entonces
λ = - (u) / (||u||) = - ( 2i + 6j ) / (2√10) = ( - √10i - 3√10j ) / 10
2) Como son vectores unitarios λ₁, λ₂ ortogonales a u = i + j + k y a v = i - j - k
entonces están dados por el producto cruz de u y v :
i) λ₁ = ( u x v ) / ||u x v|| = ((i + j + k)x(i - j - k)) / ||(i + j + k)x(i - j - k)|| = ( 2j - 2k) / ||2j - 2k|| = ( 2j - 2k) / (√(2² + ( - 2)²)) = ( 2j - 2k) / (2√2) = j / √2 - k / √2
ii) λ₂ = ( v x u ) / ||v x u||, pero recuerda que : v x u = - (u x v) y que
||u x v|| = ||v x u|| ; entonces
λ₂ = - ( u x v ) / ||u x v|| = - λ₁ = - j / √2 + k / √2
3) Dados los vectores u = 3i + 4j y v = i + αj
a) Si u y v son ortogonales, entonces u•v = 0 ; veamos :
u•v = (3i + 4j)•(i + αj) = 3 + 4α = 0 ⇒ α = - 3 / 4
b) Sabemos que si θ es el menor ángulo entre u y v, entonces :
cosθ = ( u•v ) / (||u|| * ||v||)
Para este caso
cos(π / 4) = 1 / √2 = (3 + 4α) / (5 * (√(1 + α²))
⇒ 5√(1 + α²) = √2(3 + 4α)
⇒ (5√(1 + α²))² = (√2(3 + 4α))²
⇒ 25(1 + α²) = 2(3 + 4α)² = 2(9 + 24α + 16α²)
⇒ 25 + 25α² = 18 + 48α + 32α²
⇒ 7α² + 48α - 7 = 0
⇒ α ∈ {1 / 7, - 7}
Sin embargo debes comprobar que sólo α = 1 / 7 satisface la ecuación inicial
c) u y v son paralelos entonces : u = kv , con k un número real
u = kv ⇒ 3i + 4j = k(i + αj) ⇒ 3i + 4j = ki + kαj ⇒ (3 = k) Λ (4 = kα)
⇒ α = 4 / 3
d) Igual que en el caso anterior (b)
cos(π / 3) = 1 / 2 = (3 + 4α) / (5 * (√(1 + α²))
⇒ 5√(1 + α²) = 2(3 + 4α)
⇒ (5√(1 + α²))² = (2(3 + 4α))²
⇒ 25(1 + α²) = 4(3 + 4α)² = 4(9 + 24α + 16α²)
⇒ 25 + 25α² = 36 + 96α + 64α²
⇒ 39α² + 96α + 11 = 0
⇒ α ∈ {( - 48 ± 25√3) / 39}
Sin embargo debes comprobar que sólo α = - 48 - 25√3) / 39 satisface la ecuación inicial
4) Sean u = 2i + 3j y v = 6i - 4j ; nota que :
u•v = (2i + 3j)•(6i - 4j) = 12 - 12 = 0 ⇒ u, v son ortogonales
Espero ser de ayuda.