Son aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad, pero sus elementos son diferentes?

Cuándo dos conjuntos finitos tendrán el mismo número de elementos?

Pues muy sencillo : cuando los dos puedan ponerse en correspondencia biunívoca con el mismo S(n), o, en otras palabras, cuando puedan ponerse en correspondencia biunívoca entre ellos.

No nos hace falta contar cuántos elementos tiene cada conjunto, simplemente tenemos que ver si podemos emparejar cada elemento de uno de los conjuntos con un elemento del otro, sin que sobren elementos en ninguno de los dos.

Por ejemplo, si entramos a un estadio de fútbol y vemos que no hay ningún asiento vacío sabemos que el número de elementos del conjunto Personas sentadas en el estadio es el mismo que el número de elementos del conjunto Asientos del estadio.

Pero sabemos que en el juego de las sillas musicales los conjuntos Jugadores y Sillas no tienen el mismo número de elementos, ya que con todas las sillas ocupadas queda un jugador sin silla.

Por tanto, con conjunto finitos es muy sencillo identificar cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos y cuándo no.

Es interesante recordar que al número de elementos de un conjunto se le suele llamar cardinal de dicho conjunto.

Entonces dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si sus elementos se pueden emparejar uno a uno sin que sobren elementos en ninguno de los dos conjuntos.

¿Qué ocurre cuando los conjuntos son infinitos?

Pues que la definición anterior nos sirve también es este caso :

Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si sus elementos se pueden emparejar uno a uno sin que sobren elementos en ninguno de los dos conjuntos.

Pero aquí la cosa no es tan trivial.

Con conjuntos de este tipo es cuando a veces la cosa escapa a la intuición, y para comprenderla debemos acudir a la definición estricta, la que acabamos de comentar.

Por ejemplo, en uno de los supuestos de los que se habla en el hotel de Hilbert se responde a la siguiente pregunta : ¿el conjunto de los números naturales positivos y el conjunto de los naturales pares tienen el mismo cardinal?

Preguntad a quien queráis (que no conozca la verdadera respuesta) si el conjunto \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ ldots \ } tiene o no el mismo número de elementos que el conjunto \ { 2, 4, 6, 8, \ ldots \ }.

Estoy absolutamente seguro de que os dirá que no, que el primer conjunto tiene muchos más elementos que el segundo.