Sobre las semirrectas graduadas se han indicado en azul los múltiplos de 2 y en rojo los múltiplos 3?

Elconceptogeométrico de vector como segmento rectilíneo de módulo, dirección y sentido dados, se puede generalizar como se muestra a continuación.

Un n - vector (vector n - dimensional, vector de orden n o vector de dimensión n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo.

Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales.

Un n - vector v se representa como

v = (x1, x2, .

, xn)

Las x1, x2, .

, xn se denominan componentes del vector.

Las líneas de una matriz son vectores : las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna.

Lasumadevectores(de igual longitud) y la multiplicación por un número real se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades.

Si w es otro vector,

w = (y1, y2, .

, yn)

y k es un número real, entonces

v + w = (x1 + y1, x2 + y2, .

, xn + yn)

y

kv = (kx1, kx2, .

, kxn)

Si k1, k2, .

, km son números reales, y v1, v2, .

, vm son n - vectores, el n - vector

v = k1v1 + k2v2 + .

+ kmvm

se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2, .

, vm.

Losmn - vectoressonlinealmente independientes si la única combinación lineal igual al n - vector cero, 0 = (0, 0, .

, 0), es aquélla en que k1 = k2 = .

= km = 0.

Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes.

Por ejemplo, si v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) y v4 = (3, 4, 7, 8), entonces v1, v2 y v3 son linealmente independientes, pues k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 si y sólo si k1 = k2 = k3 = 0 ; v2, v3 y v4 son linealmente dependientes pues v2 + v3 - v4 = 0.

SedicequeAesunamatriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o columna linealmente independientes, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna son linealmente dependientes.

UnespaciovectorialV es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación.

Si u, v, w son elementos de V, entonces se verifica que :

1a.

U + v es un elemento de V

2a.

(u + v) + w = u + (v + w)

3a.

U + v = v + u

4a.

Existe un vector 0 tal que 0 + u = u

5a.

Todo vector v tiene un opuesto - v tal que v + ( - v) = 0

Si y µ son números reales, se cumple también que :

1b.

·u es un elemento de V

2b.

( + µ)·u = ·u + µ·u

3b.

·(u + v) = ·u + ·v

4b.

(·µ)·v = ·(µ·v)

5.