Si una de las raíces de la función polinomial p(x) = x4 - ax2 + 5x + b es 2 y p(1) + 10 = 0 , entonces el residuo de dividir p(x) para (x - 3) es ?

Calcularemos p(1) + 10 =

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bgathered%7D%20P%5Cleft%28%201%20%5Cright%29%20%2B%2010%20%3D%20%7B1%5E4%7D%20-%20a%20%5Ccdot%20%7B1%5E2%7D%20%2B%205%20%5Ccdot%201%20%2B%20b%20%2B%2010%20%5Chfill%20%5C%5C%20%3D%201%20-%20a%20%2B%205%20%2B%20b%20%2B%2010%20%3D%20a%20%2B%20b%20%2B%2016%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bgathered%7D%20" />

Pero como p(1) + 10 = 0, entonces<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20b-a%3D%20-16" />.

Por teorema del resto (o del resíduo), el resto de dividir un polinomio K(x) por un binomio de la forma (x + a) (esto incluye el caso donde a es negativo) corresponde a evaluar - a en el polinomio K(x) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bgathered%7D%20P%5Cleft%28%202%20%5Cright%29%20%3D%20%7B2%5E4%7D%20-%20a%20%5Ccdot%20%7B2%5E2%7D%20%2B%205%20%5Ccdot%202%20%2B%20b%20%5Chfill%20%5C%5C%20%3D%2016%20-%204a%20%2B%2010%20%2B%20b%20%3D%2026%20-%204a%20%2B%20b%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bgathered%7D%20" />

Pero como 2 era raíz del polinomio, entonces, la expresión obtenida es igual a cero :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%20-%204a%20%3D%20-%2026" />

Se nos forma ahora un sistema de ecuaciones lineal de dos incógnitas :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft.%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%20b%20-%20a%20%3D%2016%20%5Chfill%20%5C%5C%20b%20-%204a%20%3D%20-%2026%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%5Cright%5C%7D" />

Nos resulta que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%3D%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B%7B10%7D%7D%20%5Cwedge%20b%20%3D%206%5Cdfrac%7B3%7D%7B%7B10%7D%7D" />

Luego reemplazar a y b en la ecuación resultante del teorema del resto y listo!