Si se cumple que : x + y = 6 , xy = 7?

Armamos un sistema de ecuaciones

1)X + Y = 6

2) XY = 7

Despejando X en el 1)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%2BY%3D6%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D6-Y" />

Sustituyendo el valor de X en la 2)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=XY%3D7%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%286-Y%29Y%3D7%20%5C%5C%20%20%5C%5C%206Y-Y%5E2%3D7%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Y%5E2-6Y%2B7%3D0" />

Aplicando formula ecuación cuadrática :

a = 1

b = - 6

c = 7

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%20%5Cdfrac%7B-b%5C%C3%B1%20%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20X%3D%5Cdfrac%7B-%28-6%29%5C%C3%B1%20%5Csqrt%7B%28-6%29%5E2-4%281%29%287%29%7D%20%7D%7B2%281%29%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20X%3D%5Cdfrac%7B6%5C%C3%B1%5Csqrt%7B36-28%7D%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20X%3D%5Cdfrac%7B6%5C%C3%B1%20%5Csqrt%7B8%7D%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20X_1%3D%5Cdfrac%7B6%2B%20%5Csqrt%7B2%5Ccdot%202%5E2%7D%20%20%7D%7B2%7D%3D%20%5Cdfrac%7B6%2B2%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%3D3%2B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20X_2%3D%5Cdfrac%7B6-%20%5Csqrt%7B2%5Ccdot%202%5E2%7D%20%20%7D%7B2%7D%3D%20%5Cdfrac%7B6-2%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%3D3-%20%5Csqrt%7B2%7D" />

Tenemos el valor de Y (tomando el positivo), cualquiera de los dos funciona, lo reemplazamos en el de X

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D6-Y%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D6-%283%2B%20%5Csqrt%7B2%7D%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D6-3-%20%5Csqrt%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D3-%20%5Csqrt%7B2%7D%20" />

X = 3 - √2

Y = 3 + √2

Ahora aplicamos para : X³ + Y³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 2ab² + b³

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%3D%283%2B%20%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5CY%3D%203%5E3%2B3%283%29%5E2%28%20%5Csqrt%7B2%7D%29%20%2B3%283%29%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Y%3D27%2B27%5Csqrt%7B2%7D%2B18%2B%28%20%5Csqrt%7B2%7D%20%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Y%3D45%2B27%5Csqrt%7B2%7D%2B%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%283-%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D3%5E3-3%283%29%5E2%28%5Csqrt%7B2%7D%29%2B3%283%29%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2-%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D27-27%5Csqrt%7B2%7D%2B18-%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%3D45-27%5Csqrt%7B2%7D-%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3" />

Teniendo los valores sumamos :

X + Y

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=45-27%5Csqrt%7B2%7D-%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%2B45%2B27%5Csqrt%7B2%7D%2B%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2045%2B45-27%5Csqrt%7B2%7D%2B27%5Csqrt%7B2%7D-%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%2B%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D90%2B0%2B0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%5Cboxed%7B%5Cbf%2090%7D%5Cto%20Solucion" />

Saludos desde Venezuela.