Si lanzas una moneda justa 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente 3 soles?

Tarea : Si lanzas una moneda justa 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente 3 soles?

Respuesta : La probabilidad es de 31, 25%

Explicación paso a paso : En el tema de probabilidades siempre hay que calcular dos datos imprescindibles que son los sucesos posibles del experimento (todos los sucesos que pueden darse y que también se llama espacio muestral) y los sucesos favorables del mismo (todos los que cumplen la condición exigida que en este caso es que salgan 3 soles en la secuencia de 5 tiradas de la moneda).

Para entendernos y como no conozco la moneda que lleva un sol en una de las caras, diré que dicha moneda tiene el sol en una cara y la cruz en la otra.

Calcular los sucesos posibles o espacio muestral es tomar los dos elementos (sol y cruz) y combinarlos de 5 en 5 tiradas, por ejemplo, en una tirada puede salir la secuencia : sol - cruz - sol - sol - solEn otra tirada podría salir la secuencia : cruz - cruz - sol - sol - cruz Para calcular ese espacio muestral se recurre al modelo combinatorio de VARIACIONES CON REPETICIÓN DE 2 ELEMENTOS (sol y cruz) TOMADOS DE 5 EN 5Son con repetición porque es obvio que los elementos tendrán que repetirse al tratarse de solo dos elementos que tomamos de cinco en cinco y son variaciones porque importa el orden en que aparezcan dichos elementos en la tirada para distinguir entre una tirada y otra.

La fórmula para esto es la más simple de todas las que tenemos en combinatoria ya que se trata de elevar el número de elementos a un exponente igual al número en que los tomamos en cada tirada, o sea : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=VR%5C%20_2%5E5%3D2%5E5%3D32%5C%20tiradas" />Esto nos dice que TODOS los sucesos posibles que pueden ocurrir en el experimento son 32.

Ahora bien, para calcular los sucesos favorables hemos de considerar que lo serán todos aquellos en cuya secuencia de 5 tiradas nos aparezcan 3 soles, sea en el orden que sea, así que aquí ya hay que usar PERMUTACIONES CON REPETICIÓN puesto que hemos de conseguir grupos de 5 elementos con esa condición.

Para usar este tipo de combinatoria diremos esto : Tenemos 5 elementos (aunque solo son dos que se repiten pero cuenta como que tomamos 5 cada vez), así que n = 5Tenemos que el sol debe repetirse 3 veces y la cruz, por lógica, se repetirá las 2 veces que restan hasta las 5 tiradas.

Por tanto tenemos esto : sol - sol - sol - cruz - cruzComo "sol" se repite 3 veces, diré que a = 3Como "cruz" se repite 2 veces, diré que b = 2Y esto lo anoto así porque la fórmula de las permutaciones con repetición tiene en cuenta las veces que se repite cada elemento y dice esto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=PR%5C%20_2%5E5%3D%5Cdfrac%7BP_n%7D%7Ba%21%2Ab%21%7D%20%3D%5Cdfrac%7B5%21%7D%7B3%21%2A2%21%7D%20%3D%5Cdfrac%7B120%7D%7B12%7D%3D10%5C%20tiradas" />Esto indica que los sucesos favorables en este experimento son un total de 10.

Ahora queda lo más sencillo para calcular la probabilidad ya que sólo hay que calcular el cociente entre sucesos favorables y sucesos posibles : P = Favorables / Posibles = 10 / 32 = 5 / 16 = 0, 3125 = 31, 25%Saludos.