Si el área del circulo que pasa por los puntos (1, 1), (1, 7) y (9, 1) se expresa en la forma kpi determine el valor de k?

Área del circulo = πr²

πr² = π k

r² = k

Ecuación de la circunferencia :

(x - a)² + (y - b)² = r²

donde :

a, b = centro de la circunferencia

r = radio

Realizando un sistema de ecuaciones de 3 x 3 (se halla la ecuación con 3 puntos, en otras palabras se calcula la distancia de cualquier punto al centro la cual debe ser igual para todas)

(1 - a)² + (1 - b)² = r²

(1 - a)² + (7 - b)² = r²

(9 - a)² + (1 - b)² = r²

Sumando la ecuaciones - 1 con la 2 :

(7 - b)² - (1 - b)² = 0

49 - 14b + b² - 1 + 2b - b² = 0

48 = 12b

b = 4

Sumando la ecuaciones - 1 con la 3 :

(9 - a)² - (1 - a)² = 0

81 - 18a + a² - 1 + 2a - a² = 0

80 = 16a

a = 5

Reemplazando en una ecuación :

(1 - 5)² + (1 - 4)² = r² - 4² + - 3² = r²

16 + 9 = r²

√25 = r

a = 5, b = 4 , r = 5, - 5

k = 5² = 25

k = - 5² = 25

k = 25.