Si ax al cuadrado + bx + 2 es divisible por : (x - 2) y (x - a), halla :4(2a + b), además a>0?

La división es exacta cuando el residuo es nulo.

A partir de esta premisa se puede hallar el valor de 4(2a + b) que es igual a - 4.

Explicación : 1.

- Dado que el polinomio <img src="https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E%7B2%7D%2Bbx%2B2" /> es divisible por : (x - 2) y (x - a), podemos hallar los valores de a y b resolviendo las divisiones e igualando a cero los residuos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bax%5E%7B2%7D%2Bbx%2B2%7D%7Bx-2%7D%3Dax%2B2a%2Bb" />De esta operación se obtiene el siguiente residuo : 4a + 2b + 2<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bax%5E%7B2%7D%2Bbx%2B2%7D%7Bx-a%7D%3Dax%2Ba%5E%7B2%7D%2Bb" />De esta operación se obtiene el siguiente residuo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7B3%7D%2Bab%2B2" />2.

- Construimos un sistema de ecuaciones con los residuos igualados a cero : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B4a%2B2b%2B2%3D0%7D%20%5Catop%20%7Ba%5E%7B3%7D%2Bab%2B2%3D0%7D%7D%20%5Cright." />De la primera ecuación obtenemos que b = - 2a - 1Sustituyendo en la segunda ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7B3%7D-2a%5E%7B2%7D-a%2B2%3D0" />El polinomio de tercer orden tiene tres soluciones para a y b : a = 1 ∧ b = - 3a = 2 ∧ b = - 5a = - 1 ∧ b = 13.

- El problema planteado tiene por restricción que a > 0, por lo que trabajamos con los dos primeros valores para hallar el valor de 4(2a + b) : a = 1 ∧ b = - 3 ⇒ 4(2(1) + ( - 3)) = - 4a = 2 ∧ b = - 5 ⇒ 4(2(2) + ( - 5)) = - 4.