Sean u = - i + 3j y v = αi - 2j Encuentre α tal que :a) u y v sean ortogonales?

A) Como u y v son ortogonales, el producto escalar entre estos vectores es nulo.

Entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%5Ccdot%20v%3D0%5CLongrightarrow%20%28-1%2C3%29%5Ccdot%28%5Calpha%2C%20-2%29%3D0%5C%5C%5C%5C%0A%28-1%29%5Ccdot%5Calpha%2B3%5Ccdot%28-2%29%3D0%5C%5C%5C%5C%0A-%5Calpha-6%3D0%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Calpha%3D-6%7D" /> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - / / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

b)Como u y v son paralelos, un vector es igual a otro multiplicado por un escalar, esto es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dtv%2C~t%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D" />.

Entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dtv%5CLongrightarrow%20%28-1%2C3%29%3Dt%28%5Calpha%2C%20-2%29%5C%5C%5C%5C%0A%28-1%2C3%29%3D%28t%5Calpha%2C-2t%29%5C%5C%5C%5C%0At%5Calpha%3D-1~%28i%29~~~%5Ctext%7By%7D~~~-2t%3D3~%28ii%29" />

Por (ii) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-2t%3D3%5Ciff%20t%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B-2%7D%5Ciff%20t%3D-%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D" />

Sustituyendo en (i) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=t%5Calpha%3D-1%5CLongrightarrow%20-%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Calpha%3D-1%5Ciff%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Calpha%3D1%5Ciff%5Cboxed%7B%5Calpha%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D" /> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - / / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c)Podemos utilizar la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores.

Si<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctheta" /> es el ángulo entre u y v :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bu%5Ccdot%20v%7D%7B%7C%7Cu%7C%7C%5Ccdot%7C%7Cv%7C%7C%7D" />

Como<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D" /> :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7B%28-1%2C3%29%5Ccdot%28%5Calpha%2C-2%29%7D%7B%5Csqrt%7B%28-1%29%5E2%2B3%5E2%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B%28-2%29%5E2%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B%28-1%29%5Ccdot%5Calpha%2B3%5Ccdot%28-2%29%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B9%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B4%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B-%5Calpha-6%7D%7B%5Csqrt%7B10%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B4%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20-%5Calpha-6%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%5Ccdot%5Csqrt%7B10%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B4%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Calpha%2B6%3D-%5Csqrt%7B5%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B4%7D~~%28i%29" />

Vamos a elevar ambos lados de la ecuación (i) al cuadrado :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Calpha%2B6%29%5E2%3D%28-%5Csqrt%7B5%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%5Calpha%5E2%2B4%7D%29%5E2%5C%5C%5C%5C%0A%5Calpha%5E2%2B12%5Calpha%2B36%3D5%28%5Calpha%5E2%2B4%29" />

[img = 10]

Sustituyendo en (i) los valores de[img = 11] : - Para[img = 12] :

[img = 13] - Para[img = 14] :

[img = 15]

Por lo tanto, no existe un valor real alfa de tal manera que el ángulo entre u y v sea π / 4.