Sean el complejo : Z = 1 + iCalculé Z ^ 12?

Primero descomponemos el numero complejo en factores :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%28%281%2Bi%29%5E3%29%5E2%29%5E2" />

Ahora : Podemos descomponer el (1 + i) ^ 3 como (1 + i)(1 + i) ^ 2

Entonces resolvemos el (1 + i) ^ 2 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bi%29%5E2%3D1%5E2%2B2i%2Bi%5E2%20%3D%201%2B2i-1%3D2i" />

Ahora tenemos en total : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%282i%281%2Bi%29%29%5E2%29%5E2" />

Y seguimos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2i%2A%281%2Bi%29%3D2i%2B%28-2%29%3D-2%2B2i%20" />

Factor común 2 y - 2 + 2i se convierte en 2(i - 1)

Entonces tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%282%28i-1%29%29%5E2%29%5E2%20%3D%20%282%5E2%2A%281-i%29%5E2%29%29%5E2%3D%284%2A%281%5E2-2i%2Bi%5E2%29%29%5E2" />

Disminuyendo términos tendríamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%284%2A-2i%29%5E2" />

Resolviendo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%284%2A-2i%29%5E2%20%3D%20%28-8i%29%5E2%20%3D%20%28-8%29%5E2%2A%28i%29%5E2%20%3D%2064%20%2A%20-1" />

Y por fin, tenemos que (1 + i) ^ 12 = - 64

Espero haberte ayudado!

: D.