Sea M el mayor número real tal que la desigualdad : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ≥ ab + bc + CA + M (a - b) ^ 2 se cumple para todos Los números reales a, por c?

Primero véase el archivo adjunto.

Tenemos esto

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%5Cleq%20%5Cdfrac%7B%28a-c%29%28b-c%29%7D%7B%28a-b%29%5E2%7D%2B1%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7BSucede%20que%20%7D%5Cdfrac%7B%28a-c%29%28b-c%29%7D%7B%28a-b%29%5E2%7D%2B1%5Cgeq%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ctext%7B%20.%20Si%20hacemos%20que%20%7Dm%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ctext%7B%2C%20entonces%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7Bla%20desigualdad%20original%20se%20cumplir%5C%27ia%20para%20todos%20los%20valores%20reales%20de%20%7Da%2C%5C%5C%20b%20%5Ctext%7B%20y%20%7Dc.%5Ctext%7B%20Es%20m%5C%27as%20si%20colocamos%20los%20valores%20de%20%7Dm%5C%20%5Ctextless%20%5C%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ctext%7B%20entonces%20la%20desigual-%20%7D%5C%5C%5Ctext%7Bdad%20sigue%20cumpli%5C%27endos%2C%20pero%20si%20colocamos%20a%20%7Dm%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ctext%7B%20entonces%20la%20desi%20-%20%7D%5C%5C%5Ctext%7Bgualdad%20solo%20se%20cumplir%5C%27ia%20para%20ciertos%20valores%20de%20%7Da%2Cb%20%5Ctext%7B%20y%20%7Dc" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7BPor%20consiguiente%2C%20si%20queremos%20que%20se%20cumpla%20la%20desigualdad%20%7D%5Cforall%7Ba%2Cb%2Cc%7D%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5C%5C%20%5Ctext%7Bentonces%20%7DM%5Cleq%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%0A%5Ctext%7BAs%5C%27i%20%7D%5Cboxed%7B120M%3D90%7D" />.