Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, si la ecuación x2y’’ + xy’ + y = 2x tiene por solución homogénea la expresión y_h = c_1 cos(lnx) + c_2 sen(lnx), los respectivos Wronskianos w1 y w2 equivalen. (desarrollar el procedimiento completo).
El Wronskiano no es más que un determinante, de tal manera que debemos plantear nuestra ecuación diferencial y nuestra ecuación característica, tenemos que : x²·y'' + xy' + y = 2x Simplificamos nuestra ecuación diferencial dividiendo todo entre x², tenemos : y'' + y' / x + y / x² = 2 / x Nuestra ecuación característica es igual a : yh = C₁·cos(lnx) + C₂·Sen(lnx) El Wronskiano viene dado por las matrices : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=W_1%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26y_2%26%5C%5Cf%28x%29%26y%27_2%26%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=W_2%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dy_1%260%26%5C%5Cy%27_1%26f%28x%29%26%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />Teniendo la matriz lo que debemos proceder es a buscar las funciones y sus derivadas, tenemos que : y₁ = cos(lnx) y₂ = sen(lnx) f(x) = 2 / x Ahora buscamos las derivadas, tenemos : y'₁ = - sen(lnx)·1 / x y'₂ = cos(lnx)·1 / xAhora planteamos las matrices.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W_1%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26sen%28lnx%29%26%5C%5C2%2Fx%26cos%28lnx%29%2Fx%26%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />Resolvemos y tenemos que : W₁ = - Sen(lnx)·x / 2 <img src="https://tex.z-dn.net/?f=W_2%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dcos%28lnx%29%260%26%5C%5C-sen%28lnx%29%26x%2F2%26%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />W₂ = x / 2·Cos(lnx)Obteniendo de esta manera los valores pedidos.
Respuesta : a) x² - 36 = 0 x₁ = 6 x₂ = - 6b) x² - 24 = 0 x₁ = 4√6 x₂ = - 4√6c) x² - 81 = 0 x₁ = - 9 x₂ = 9d) 2x² - 4 = 0 x = ±√2e) 4x² - 4 = 0 x₁ = - 1 x₂ = 1Explicación paso a paso : Ecuaciones de segundo grado : a) x²…
Respuesta : Esta es la respuestaEspero les sirva.