Resuelve la ecuación diferencial dada determinando un factor integrante adecuadoxdx + (x²y + 4y)dy = 0 ; y(4) = 0?

Supongamos inicialmente el factor integrante sea<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Du%28x%2Cy%29" /> entonces tendríamos la EDO siguiente <img src="https://tex.z-dn.net/?f=xu%5C%2C%20dx%2B%28x%5E2y%2B4y%29u%5C%2Cdy%3D0" />

Lo que se busca es que esta EDO sea exacta, es decir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7Dxu%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%28x%5E2y%2B4y%29u%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0Axu_y%3D%282xu%2Bx%5E2u_x%2B4u_x%29y" />

Si pensamos que la función<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dw%28x%29" /> la cosa se complicaría, pero si en cambio ponemos que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dz%28y%29" /> tenemos entonces <img src="https://tex.z-dn.net/?f=xz_y%3D2xyz%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ax%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bdz%7D%7Bdy%7D%3D2xyz%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cdfrac%7Bdz%7D%7Bdy%7D%3D2yz%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cdfrac%7Bdz%7D%7Bz%7D%3D2y%5C%2Cdy%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cln%20z%20%3D%20y%5E2%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bz%3De%5E%7By%5E2%7D%7D" />

Este es el factor integrante adecuado.

Entonces tenemos ahora que resolver la siguiente EDO exacta <img src="https://tex.z-dn.net/?f=xe%5E%7By%5E2%7D%5C%2C%20dx%2B%28x%5E2y%2B4y%29e%5E%7By%5E2%7D%5C%2Cdy%3D0" />

Recordemos esto : Si tenemos una función diferenciable<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%3Df%28x%2Cy%29" /> en cierta región de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbb%20R%5E2" /> entonces tenemos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=df%3Df_x%5C%2C%20dx%2Bf_y%5C%2C%20dy" />

Por ello supongamos que la EDO exacta proviene de[img = 10] entonces vemos [img = 11]

Y así tenemos la solución de la EDO [img = 12]

Donde C es una constante.

Pero como nos dan que y(4) = 0, entonces[img = 13] [img = 14].