Resolver la Integral :∫dx / √((4x² - 25)³)?

∫dx / √((4x² - 25)³)

Por sustitucióntrigonométrica :

Sea x = 5 / 2 secθ

dx / dθ = 5 / 2 secθ tanθ

dx = 5 / 2 secθ tanθ dθ

∫dx / √((4x² - 25)³) =

∫(5 / 2 secθ tanθ dθ) / √((4(5 / 2 secθ)² - 25)³) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25sec²θ - 25)³) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25 (sec²θ - 1))³) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25 (tan²θ))³) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √(25 (tan²θ))³) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √(15625(tan³θ)²) =

5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / (125 tan³θ) =

1 / 50∫secθ / tan²θdθ =

1 / 50∫cosθ csc²θdθ

Miremos la integral :

∫cosθ csc²θdθ

Integrando por partes :

u = cos θ

du = - senθ dθ

dv = csc²θ dθ

v = ∫csc²θ dθ

v = - cotθ = - 1 / tanθ

∫cosθ csc²θdθ = - 1 / tanθcosθ - ∫ - 1 / tanθ ( - senθ) dθ = - cos²θ cscθ - ∫cosθdθ = - cos²θ cscθ - senθ + K

Volviendo a la integral principal :

1 / 50( - cos²θ cscθ - senθ + K)

Ahora debemos reemplazar, comox = 5 / 2 secθ

cosθ = 5 / 2x

Cosθ = CA / H , con esto podemos formar un triangulo rectángulo y armar todas las funciones trigonométricas :

Halando el CO :

25 + CO² = 4x²

CO² = 4x² - 25

CO = √(4x² - 25)

Con esto hallamos senθ = √(4x² - 25) / 2x y cscθ = 2x / √(4x² - 25)

1 / 50( - cos²θ cscθ - senθ + K) = 1 / 50(( - 25 / 4x²) 2x / √(4x² - 25) - √(4x² - 25) / 2x) + c = 1 / 50( - 25 / (2x√(4x² - 25)) - 4x² - 25 / (2x√(4x² - 25))) + c = 1 / 50 ( - 4x² / (2x√(4x² - 25))) + c = 1 / 50( - 2x / √(4x² - 25) ) + c = - x / ( 25√(4x² - 25) ) + c.