Resolve ?

40. un punto sobre la hipérbola tiene la forma (x, 8 / x), por ende la distancia entre este punto y (3, 0) es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=D%28x%29%3D%5Csqrt%7B%283-x%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B64%7D%7Bx%5E2%7D%7D" />

Hallemos los puntos críticos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=D%27%28x%29%3D%5Cdfrac%7B2%28x-3%29-%5Cdfrac%7B128%7D%7Bx%5E3%7D%7D%7B2%5Csqrt%7B%283-x%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B64%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0AD%27%28x%29%3D%5Cdfrac%7Bx-3-%5Cdfrac%7B64%7D%7Bx%5E3%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%283-x%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B64%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ax-3-%5Cdfrac%7B64%7D%7Bx%5E3%7D%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ax%5E4-3x%5E3-64%3D0%5C%5C%20%5C%5C%0A%28x%20-%204%29%28x%5E3%20%2B%20x%5E2%20%2B%204x%20%2B%2016%29%3D0%5C%5C%20%5C%5C%0Ax%5Cin%5Cleft%5C%7B4%2C%5Cdfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B6%5Csqrt%7B1137%7D-199%7D%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B6%5Csqrt%7B1137%7D%2B199%7D%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Capprox-2.294947578%5Cright%5C%7D" />

Entonces los puntos críticos son - 2.

294947578, 0, 4.

Evaluando los intervalos correspondientes a estos puntos críticos a D' tenemos que x = 4 hace mínimo a D(x), es decir que la distancia mínima es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=D%284%29%3D%5Csqrt%7B5%7D" /> y el punto buscado es (4, 2)

41.

Sea p el semiperímetro entonces tenemos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=pr%20%3D%5Csqrt%7B%28p-a%29%5E2%28p-b%29%7D%5C%5C%20%5C%5C%0Aa%3D%5Cdfrac%7Bb%5E3%2B4r%5E2%5Cpm4r%5Csqrt%7Bb%5E3%2Br%5E2%7D%7D%7B2b%5E2%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BNos%20quedamos%20con...%7D%5C%5C%20%5C%5C%0Aa%3D%5Cdfrac%7Bb%5E3%2B4r%5E2%2B4r%5Csqrt%7Bb%5E3%2Br%5E2%7D%7D%7B2b%5E2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BEntonces%20el%20%5C%27area%20es%3A%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0AS%28b%29%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bb%5E3%2B4r%5E2%2B4r%5Csqrt%7Bb%5E3%2Br%5E2%7D%7D%7B2b%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7B2%7D%5Cright%29r%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BPuntos%20cr%5C%27iticos%20%7DS%27%28b%29%3D0%5C%5C%20%5C%5C%0AS%27%28b%29%3D%5Cdfrac%7Br%28b%5E3%20-%204r%5E2%29%5Csqrt%7Bb%5E3%20%2B%20r%5E2%7D%20-%20r%5E2%28b%5E3%20%2B%204r%5E2%29%7D%7Bb%5E3%5Csqrt%7Bb%5E3%20%2B%20r%5E2%7D%7D%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%0Ab%3D2r%5E%7B2%2F3%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%27%27%28b%29%3D%5Cdfrac%7B3r%5E2%5Cleft%5B8r%28b%5E3%20%2B%20r%5E2%29%5E%7B3%2F2%7D%20%2B%20b%5E6%20%2B%2012b%5E3r%5E2%20%2B%208r%5E4%5Cright%5D%7D%7B2b%5E4%28b%5E3%20%2B%20r%5E2%29%5E%7B3%2F2%7D%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0AS%27%27%282r%5E%7B2%2F3%7D%29%3D%5Cdfrac%7B4r%5E%7B1%2F3%7D%7D%7B3%7D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BPor%20ende%20%7Db%3D2r%5E%7B2%2F3%7D%20%5Ctexttt%7B%20es%20un%20m%5C%27inimo%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BS_%7B%5Cmin%7D%3D4r%5E%7B5%2F3%7D%7D" />

42.

Supongamos que el radio de la base del cono sea<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Crho" /> entonces su altura medirá <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%28%5Crho%29%3Dr%5Cpm%5Csqrt%7Br%5E2-%5Crho%5E2%7D" />

Puntos críticos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bdh%7D%7Bd%5Crho%7D%3D0%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BSe%20deduce%20%7D%5Crho%3D%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7Dr%7D%7B3%7D%5Ctexttt%7B%20hace%20de%20m%5C%27inimo%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BV_%7B%5Cmin%7D%3D%5Cdfrac%7B16%5Cpi%7D%7B81%7Dr%5E3%7D" />.