Relaciones de orden en los numeros racionales?

Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces decimos que es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades : 1.

Reflexividad : Todo elemento de está relacionado consigo mismo.

Es decir, .

2. Antisimetría : Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales.

Es decir, 3.

Transitividad : Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último.

Es decir,

Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado

sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,

Ejemplo es totalmente ordenado.

En efecto, es : Reflexivo : entonces (porque por definición,

Antisimétrico : si y entonces

Transitivo : si y entonces )

Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir, tal que .

Ejemplo.

Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por :

Entonces es parcialmente ordenado, pues sean pero Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Una relación de orden parcial = sobre un conjunto X se dice densa (o densa - en - sí - misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x = y y x ?

Y), existe otro z en X tal que x < z < y.

Ejemplo 1 : Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales.

Si q1 < q2 entonces tenemos que q3 : = (q1 + q2) / 2 satisface que : q1 < q3 < q2.

Véase también : Conjunto denso Ejemplo 2 : Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.