Raiz cuadrada de 5, es irracional?

Un número que es irracional no puede expresarse como una fracción a / b , puesto que los decimales continuan infinitos y de forma aleatoria, tal que no existe una relación entre ellas con el que podamos expresarlo como una fracción.

Existe un método para demostrar que el número 5 es irracional, denominado reducción al absurdo, la cual te presento a continuación :

Supongamos que : √5 es racional, y que podemos expresarlo como a / b (a y b ∈ N) , es decir :

√5 = a / b , tal que a / b está simplificada (es decir a y b son números PESI) * Números PESI : Primos entre sí

Si elevamos al cuadrado la expresión anterior, obtendremos que :

a² / b² = 5

a² = 5 * b²

De esta expresión, se concluye que a² es múltiplo de 5, por lo tanto "a" también lo será!

(recuerda que a∈N)

Siendo a múltiplo de 5, podemos expresarlo como a = 5k , k∈N, y si reemplazamos en la expresión anterior, obtendremos que :

(5k)² = 5b²

25k² = 5b²

5k² = b²

Ahora, similar al caso anterior b² es múltiplo de 5, por lo tanto b también lo será.

Pero ey!

Recuerda que hemos dicho que a y b son números pesi (por lo tanto no pueden tener ningun factor en común) , caso que no se está cumpliendo.

Y como puedes observar, hemos llegado a un absurdo.

Por lo tanto, si √5 no es racional, será irracional.

Saludos!