Quiero resolver esta integralcita integral((tan(x)) / (x))dx[ / tex]?

Integral de la tanx / x dx

se hace por parte, buscando hacer la integral mas facil

uv - la integral vdu

primero derivamos

haciendo u = tanx y du = sec cuadrado dx dx = du / sec cuadrdo

luego integramos la parte mas facil

dv = 1 / x dx v = ln x

sutituimos en la formula

tanx lnx - la integral lnx (sec cuadrado de x)dx

integramos otra vez por parte

hacemos u = ln x du = 1 / x dx

dv = sec cuadrado de x v = tanx

sustituimos

tanx lnx - ( lnx tanx - la integral de la tanx 1 / x dx)

volvemos a integral

hacemos u = tanx (1 / x) du = tanx 1 / xcuadrado + 1 / x sec cuadrado de x

dv = dx v = x

lo que se hizo arriba fue derivar por la derivada del producto e integramos dx

sustituimos

tanx lnx - (lnx tanx - (tanx 1 / x x - la integral 1 / x + 1 / x sec cuadrado de x dx x))

cacelamos las x

tanx lnx - (lnx tanx - (tanx - la integral 1 / x(1 + sec cuadrado de x dx)x))

cacelamos la x de la integral, ahi se ve que es una integral facil de tabla

tanx lnx - (lnx tanx - (tanx - la integral 1 + sec cuadrado de x dx))

tanx lnx - (lnx tanx - tanx + x - tanx)

tanx lnx - lnx tanx + tanx - x + tanx

se cancela lo que se tiene que cancelar y queda

2 tanx + x.