Quien me puede ayudar hacer esa continuidad de una funcion de dos variables x ^ 3 - 4xy ^ 2 / x ^ 2 + y ^ 2 si (x, y)≠ (0, 0) f(x, y) 0 si (x, y) = (0, 0).
En resumen
1) primero vemos que la función<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f_1%28x%2Cy%29%3D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D" /> no está definida solo cuando<img src="https://tex.z-dn.net/?
1) primero vemos que la función<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f_1%28x%2Cy%29%3D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D" /> no está definida solo cuando<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2By%5E2%3D0%5Ciff%20%28x%2Cy%29%3D%280%2C0%29" />, por ello el único punto crítico a evaluar será (0, 0)
2) veamos si el siguiente límite existe <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D" />
Indicadores del valor límite
2.
1) Por el eje X (o sea cuandoy = 0) <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cequiv%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7Bx%5E2%7D%3D0" />
2.
2) Por el eje Y (cuando x = 0) <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cequiv%20%5Clim%5Climits_%7By%5Cto%200%7D%5Cdfrac%7B0%7D%7By%5E2%7D%3D0" />
2.
3) Através de una recta que pasa por el origen (y = mx) <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cequiv%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4x%28mx%29%5E2%7D%7Bx%5E2%2B%28mx%29%5E2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cequiv%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cdfrac%7Bx%5E3%281-4m%29%7D%7Bx%5E2%281%2Bm%29%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D0" />
Ya que todo parece indicar que tal límite es 0 entonces
2.
4) debemos probar que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%20%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3-4xy%5E2%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D0" />
2.
4. 1) es fácil probar que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2By%5E2%5Cgeq%202%7Cx%7C%7Cy%7C" /> y por ello (para <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2Cy%29%5Cneq%20%280%2C0%29" />) tenemos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5C%20%5Ctextless%20%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Cx%7C%7Cy%7C%7D" />
2.
4. 2) .
[img = 10]
Entonces podemos hacer : [img = 11] y por ello[img = 12].
Con lo que se demuestra que la función es continua en el origen de coordenadas.
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