Que SonSeries Numericas, Con Ejmplos Por Favor?

Serie matemática

Enmatemáticas, unaseriees la generalización de la noción desumaa los términos de unasucesión infinita.

Informalmente, es el resultado de sumar los términos : lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo desumatorio : .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finitonde términos sucesivos, y mediante unpasaje al límiteidentificar el comportamiento de la serie a medida quencrece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos ; en cambio en unaserie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo.

Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse comoserie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas delanálisis matemáticopara ser debidamente comprendidas y manipuladas.

Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza deconvergenciao no - convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

DefinicionesEditar

Sumas parciales

Para cualquiersucesión matemáticadenúmeros racionales, reales, complejos, funciones, etc.

, laserie asociadase define como lasuma formalordenada :

.

Lasucesión de sumas parcialesasociada a una sucesiónestá definida para cadacomo la suma de la sucesióndesdehasta :

.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serieconvergeal límitesi y solo si la sucesión de sumas parciales asociadaconvergea.

Esta definición suele escribirse como

.

EjemplosEditar

Unaserie geométricaes aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamadarazón r.

En este ejemplo, la razónr = 1 / 2) : 

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a :

Laserie armónicaes la serie

La serie armónica es divergente.

Unaserie alternadaes una serie donde los términos cambian de signo : Unaserie telescópicaes la suma, dondean = bn−bn + 1 : 

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que :

Unaserie hipergeométricaes una serie de la forma : , con = .