¿Qué son los productos notables?

Productos notableses el nombre que recibenmultiplicacionesconexpresiones algebraicasque cumplen ciertasreglas fijasy cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a unafórmuladefactorización.

Por ejemplo, la factorización de una diferencia decuadrados perfectoses un producto de dosbinomios conjugados, y recíprocamente.

Factor comúnRepresentación gráfica de la regla defactor común.

El resultado de multiplicar un binomiopor un términose obtiene aplicando lapropiedad distributiva : Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta.

El área del rectángulo es(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas : yEjemplo : Cuadrado de un binomioIlustración gráfica delbinomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.

Así : Un trinomio de la expresión siguiente : se conoce comotrinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es : En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo : Simplificando : Producto de dos binomios con un término comúnIlustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo : Agrupando términos : Luego : Producto de dos binomios conjugadosVéase también : Conjugado (matemática).

Producto debinomios conjugados.

Dosbinomios conjugadosse diferencian sólo en el signo de la operación.

Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene unadiferencia de cuadrados.

Ejemplo : Agrupando términos : A este producto notable también se le conoce comosuma por la diferencia.

Polinomio al cuadradoElevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo : Multiplicando losmonomios : Agrupando términos : Luego : Cubo de un binomioDescomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente : El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy : Ejemplo : Agrupando términos : Si la operación del binomio implica resta, el resultado es : El cubo del primer término.

Menosel triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

Másel triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

Menosel cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy : Ejemplo : Agrupando términos : Identidad de ArgandIdentidades de GaussIdentidades de LegendreIdentidades de LagrangeArtículo principal : Identidad de Lagrange.

Otras identidadesDado que lanotabilidadde un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no.

A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar deproductos notables.

Entre ellas se destacan : Adición de cubos : Diferencia de cubos : Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como fórmulas defactorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potenciasenésimas(on - ésimas : xn).

Suma de potencias enésimas : Si - sólo si - nes impar, Diferencia de potencias enésimas : Las fórmulas debinomio al cuadradoybinomio al cubose pueden generalizar mediante elteorema del binomio.

Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa :