Que es el dominio el codominio y el rango?

El dominio de una funcion es el conjunto de valores que tienen imagen segun esa funcion.

El codominio es el conjunto de valores que pueden tomar la imagen.

Y el rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen.

Entonces.

1) f(x) = 3x - 1

Como la funcion f(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces el dominio es ( - ∞, + ∞)

Y como el dominio es ( - ∞, + ∞), el codominio es el conjunto de todos los valores de salida de f(x), el codominio de f(x) es ( - ∞, + ∞)

Y como rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen, al igual que el codominio, el rango de f(x) es ( - ∞, + ∞)

2) g(x) = 2x² + 5x

Como la funcion g(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces, el dominio de la funcion g(x) es ( - ∞, + ∞)

Cuando queremos calcular el codominio de una funcion de manera nas analitica, se iguala la funcion a y, y luego se despeja x, en nuestro caso.

2x² + 5x = y

Despejando

2x² + 5x - y = 0

x = ( - 5 ±√(5² - 4(2)( - y)) / (2(2)

x = ( - 5 ±√(25 + 8y) / 4

Ahora, como una raiz cuadrada siempre debe tener radicando positivo, para que sea un numero real, se debe cumplir la siguiente desigualdad :

25 + 8y ≥ 0

Resolviendo la inecuacion queda

8y > - 25

y ≥ - 25 / 8

Por tanto, el codominio de g(x) es [ - 25 / 8, + ∞)

Y como rango es el conjunto de valores que realmente toma la imagen, al igual que el codominio, el rango de f(x) es [ - 25 / 8, + ∞)

3)h(x) = (x - 1) ^ 1 / 2

Como (x - 1) ^ 1 / 2 = √(x - 1)

h(x) = √(x - 1)

Ahora, como una raiz cuadrada siempre debe tener radicando positivo, para que sea un numero real, tenemos que se debe cumplir la siguiente desigualdad :

(x - 1) ≥ 0

Resolviendo la inecuacion :

(x - 1) ≥ 0

x ≥ 1

Por tanto, el dominio de h(x) es [1, + ∞)

Ahora, para calcular el codominio, igualamos a y, y luego despejamos x, entonces

√(x - 1) = y

Resolviendo.

√(x - 1) = y

√(x - 1)² = y²

x - 1 = y²

x = y² + 1

Ahora, como y² , siempre arroja valores positivos, entonces tenemos que el minimo valor posible de y² + 1 es 0² + 1 = 1

Por tanto, el codominio de h(x) es [1, + ∞)

Y analogamente, el rango es [1, + ∞)

4) i(x) = 2x / (x² - 1)

Como en un cociente, el numerador siempre debe ser distinto de 0, para que sea un numero real, entonces, la funcion i(x) no esa definida para x² - 1 = 0

Resolviendo

x² - 1 = 0

x² = 1

x = √1

x = ±1

Es decir, que la funcion i(x) no esta definida para 1, ni - 1, por tanto el dominio de i(x) es ( - ∞, - 1) U ( - 1, 1) U ( - 1, + ∞)

O en otras palabras, el dominio de i(x) es el conjunto de todos los numeros reales, excepto el 1 y - 1

Ahora, para calcular el codominio, igualamos a y, y luego despejamos x, entonces :

2x / (x² - 1) = y

Resolviendo.

2x / (x² - 1) = y

2x = y(x² - 1)

x = (2 ±√(4y² + 4)) / (2y)

Entonces, debe cumplirse la siguiente desigualdad

4y² + 4 > 0

Y como y² siempre arroja valores positivos, entonces, la desigualdad anterior se cumple para todos los valores de y.

Por tanto el codominio de i(x) es ( - ∞, + ∞)

Y analogamente el rango es ( - ∞, + ∞)

5) j(x) = (3x - 2) ^ 1 / 3

Como (3x - 2) ^ 1 / 3 = ³√(3x - 2), entonces

j(x) = ³√(3x - 2)

Y como j(x) esta definida para todos los numeros reales, entonces el dominio de j(x) es ( - ∞, + ∞)

Ahora, igualando a y, tenemos

³√(3x - 2) = y

Resolviendo

³√(3x - 2) = y

³√(3x - 2)³ = y³

3x - 2 = y³

3x = y³ + 2

x = (y³ + 2) / 3

Y como (y³ + 2) / 3 esta definida para todos los numeros reales, entonces el codominio de j(x) es ( - ∞, + ∞)

Y analogamente el rango es ( - ∞, + ∞)

Espero haberte ayudado!