Prueba que el triángulo cuyos vértices son A(6, 5), B(1, 3), C(5, - 7) es un triángulo rectángulo, utilizando la condición de perpendicularidad?

Hola.

Espero ayudar con esto :

Primero realizamos la gráfica para visualizar fácilmente el triángulo :

Adjunto la imagen.

Al ser un triángulo tenemos tres segmentos :

1.

AB

2.

BC

3.

AC

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°, es decir, formado por dos líneas perpendiculares.

Al analizar una gráfica sabemos que dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una de ellas es el negativo del inverso de la pendiente de la otra recta.

Explicado algebraicamente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_1%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bm_2%7D%20" />

Para calcular la pendiente se utiliza : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D%5Cfrac%7By_2-y_1%7D%7Bx_2-x_1%7D" />

Vamos a calcular la pendiente de los segmentos AB y BC, que son los que deben formar el angulo recto :

Segmento AB :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7By_B-y_A%7D%7Bx_B-x_A%7D" /> Sustituir

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BAB%7D%3D%20%5Cfrac%7B3-5%7D%7B1-6%7D%20%3D%5Cfrac%7B-2%7D%7B-5%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D" />

Segmento BC :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BBC%7D%3D%5Cfrac%7By_C-y_B%7D%7Bx_C-x_B%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BBC%7D%3D%5Cfrac%7B-7-3%7D%7B5-1%7D%3D%5Cfrac%7B-10%7D%7B4%7D%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" />

Como vemos, la pendiente de BC es el negativo inverso de la pendiente de AB.

Podemos demostrar con la operación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" />

Por lo tanto, el triángulo es rectángulo.

Saludos.