PROGRESIÓN ARITMÉTICACuál será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado $ 760 y por cada uno de los restantes, $ 150 más que por el anterior?

Hola,

De las progresiones aritméticas, sabemos que el término n - ésimo puede ser expresado como :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3D%20a_%7B1%7D%20%2B%20%28n-1%29d" />

Donde,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1%20%3D%20%5Ctext%7Bprimer%20t%5C%27ermino%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ad%20%3D%20%5Ctext%7Bdiferencia%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0An%20%3D%20%5Ctext%7Bcantidad%20de%20t%5C%27erminos%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20" />

Ahora bien, podemos identificar que :

a₁ = 760

d = 150

Por lo que el término n - ésimose puede reescribir como :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3D%20760%20%2B%20%28n-1%29150%20%5C%5C%20%5C%5C%0Aa_n%20%3D%20150n%20%2B%20610" />

Como dato, nos entregan la suma de todos los precios por cada metro de profundidad, si sabemos que el precio va aumentando en 150 en cada metro, nos preguntas cuantos metros de profundidad tendrá el pozo si el total ha sido 43700, en el fondo nos pregunta, cuántos términos hay en la progresión aritmética?

La suma de una progresión aritmética está dada por :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20a_i%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bn%28a_1%20%2B%20a_n%29%7D%7B2%7D%20" />

Podemos ir reemplazando, sabemos el valor de la suma total que es 43700 y conocemos el primer término :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=43700%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bn%28760%2Ba_%7Bn%7D%29%7D%7B2%7D%20" />

Queremos determinar el valor de n, pero aún tenemos el término de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> como incógnita, pero en el comienzo definimos el término n - ésimo, si lo reemplazamos en esta ecuación tenemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=43700%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28760%2B%28150n%20%2B%20610%29%29%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A" />

Luego de esto encontramos el valor de n :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=43700%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28760%2B%28150n%20%2B%20610%29%29%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A150n%5E2%20%2B%201370n%20-%2087400%20%3D%200%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7BSoluciones%3A%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bn_1%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B437%7D%7B15%7D%20%5C%20%5C%20%5Ctext%7By%7D%20%5C%20%20%5C%20n_2%20%3D%2020%7D" />

Nos quedamos con el valor con sentido, o sea con la solución que dice que la cantidad de términos o la profundidad del pozo es de 20 metros.

Salu2 : ).