Problemas de aplicacion maximos y minimos 1 hallar dos numeros cuyo producto sea 16 y su suma sea minima 2La suma de dos numeros positivos sea ( a ), calculando los numeros de manera que el producto de uno de ellos por el cuadardo de otro sea maximo.
Para el primer problema
Si esos dos números son x e y, entonces como su producto es 16, xy = 16 donde ninguno de ellos puede ser cero, luego y = 16 / x
La suma de ambos número es x + y es decir x + 16 / x
La función de la suma es f(x) = x + 16 / x
Quiero hallar su valor mínimo
Para hallar sus puntos críticos (los cuales pueden ser mínimos o máximos) derivo esta función y luego la igualo a cero
f(x) = x + 16 * x ^ ( - 1) luego su derivada es f'(x) = 1 + 16 * ( - 1)x ^ ( - 2) es decir f'(x) = 1 - 16 / x²
Igualo a cero la derivada f'(x) = 0 1 - 16 / x² = 0 1 = 16 / x² x² = 16
Luego x = 4 o x = - 4
Podría hallar la segunda derivada de mi función (es decir derivar la derivada) y analizando su signo ver si estos puntos son máximos, mínimos o ninguna de las dos Entonces
f'(x) = 1 - 16x ^ ( - 2) f''(x) = 0 - 16 * ( - 2) * x ^ ( - 3) f''(x) = 32 / x³
Para x = 4 la segunda derivada es 32 / 4³ lo cual es positivo Entonces en x = 4 mi función tiene un mínimo
Para x = - 4 la segunda derivada es - 32 / 4³ lo cual es negativo Entonces en x = - 4 mi función tiene un máximo
Como quiero que la función suma de lo mínimo posible entonces elijo x = 4 Luego y = 16 / x y = 4 Los números son 4 y 4
Para el 2do problema
La suma de dos números positivos es "a" Supongo que a es un número (una constante) Entonces x + y (la suma de los números) es a x + y = a
Los números son positivos entonces a también
El producto de uno de ellos por el cuadrado del otro es por ejemplo yx²
Quiero que esta función sea mínima Reemplazo en ella el valor de y
Me queda (a - x) * x² es decir f(x) = ax² - x³
Quiero hallar el máximo de esa función Entonces derivo e igualo a cero la derivada
f'(x) = a * 2x - 3x² f'(x) = 0 si y solo si a * 2x - 3x² = 0 x(2a - 3x) = 0 Entonces x = 0 o
2a - 3x = 0 es decir 2a = 3x x = 2a / 3
Hallo la segunda derivada f''(x) = 2a - 3 * 2x f''(x) = 2a - 6x
Para x = 0 f''(0) = 2a la 2da derivada da positivo Es decir que tengo un mínimo
Para x = 2a / 3 f''(2a / 3) = 2a - 6 * 2a / 3 = 2a - 4a = - 2a Como da negativo en x = 2a / 3 la función tiene un máximo que es lo que buscaba
Luego, x = 2a / 3 y = a - x entonces y = a - 2a / 3 y = a / 3
Verifico que la suma de los números es a
Luego los números, son 2a / 3 y a / 3 con a positivo.
Ya, los números buscados son 30 y 18, sólo es tantear y un poco de práctica. 30 - 18 . MCD = 6 30 - 18. MCM = 90 90x6 = 540.
Sean x e y los números. X + y = 8 ; P = x y = x (8 - x) = 8 x - x² Una función es máxima en un punto de derivada nula y segunda derivada negativa. P' = 8 - 2 x = 0 ; de modo que x = 4 P'' = - 2, negativa, mínimo Luego…