Porque el volumen de una pirámide regular es la tercera parte del prisma de la misma base y altura?

Vamos a comparar el volumen de una pirámide regular con el de un prisma de la misma base y altura para llegar a tal conclusión.

Sea un prisma de base A y altura h, el volumen es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3DA.h" />Ahora hallemos el volumen de la pirámide.

En todo polígono regular el área es una función del lado al cuadrado de modo que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3Dkl%5E%7B2%7D" />Y si uno corta la pirámide con un plano paralelo a la base, hay un polígono distinto para cada valor de z (la intersección entre la pirámide y el plano), el lado de ese polígono se va encogiendo linealmente desde l en la base hasta 0 en la cúspide (para simplificar cálculos ponemos la cúspide en el origen), tenemos, siendo m la longitud del lado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%280%29%20%3D0%5C%5Cm%28h%29%3Dl%5C%5Cm%28z%29%3Db.z%5C%5Cl%3Db.h%5C%5Cb%3D%5Cfrac%7Bl%7D%7Bh%7D%20%5C%5Cm%28z%29%3D%5Cfrac%7Bl%7D%7Bh%7Dz" />Y el área del polígono cuyo lado es m es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28z%29%3Dk%28m%28z%29%29%5E%7B2%7D%3Dk%5Cfrac%7Bl%5E%7B2%7D%7D%7Bh%5E%7B2%7D%7D%20z%5E%7B2%7D" />Ahora podemos ver el volumen de la pirámide como la suma de los volúmenes de muchos prismas apilados uno sobre otro cuya altura es infinitesimal y es dz, y cuya área sigue la ley de variación anterior, tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=dV%3DA%28z%29dz%3Dk%5Cfrac%7Bl%5E%7B2%7D%7D%7Bh%5E%7B2%7D%7D%20z%5E%7B2%7Ddz" />El volumen es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cint%5Climits%5E0_h%20%7Bk%5Cfrac%7Bl%5E%7B2%7D%7D%7Bh%5E%7B2%7D%7D%20z%5E%7B2%7D%7D%20%5C%2C%20dz%20%3Dk%5Cfrac%7Bl%5E%7B2%7D%7D%7Bh%5E%7B2%7D%7D%5Cfrac%7Bh%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D" />Simplificando : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3Dkl%5E%7B2%7D%5Cfrac%7Bh%7D%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BAh%7D%7B3%7D" />Donde A es el área de la base.

Ahí es donde concluímos que el volumen de una pirámide regular es un tercio del de un prisma de igual base y altura.