¿porque el número se ha de dividir 2 / 5 para que resulte 8 / 15?

Sea x / y el número buscado entonces

(2 / 5) / (x / y) = 8 / 15

efectuando producto de extremos y medios ("ley de la oreja")

se tiene :

2y / 5x = 8 / 15

Por igualdad de números racionales

(a / b = c / d ⇔ad = bc)

Entonces

2y * 15 = 5x * 8

30y = 40x

30 / 40 = x / y

Simplificando 30 / 40

3 / 4 = x / y

Verificando

(2 / 5) / (3 / 4) = 2 * 4 / 3 * 5 = 8 / 15.