Porfa ayudenme con 10 ejercicios resueltos de la pendiente de una recta?

Ejercicio 1

Hallar

la distancia entre los puntos P1 (2, - 8) y P2 (3, 5).

- Solución :

x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – ( - 3) = 13

Ejercicio 2

Sean P1 ( - 1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.

Determine :

Coordenadas del punto medio M del

segmento

Coordenadas del punto P sobre el

segmento - Solución :

Si el punto

medio M tiene coordenadas.

M (x m, y m) entonces :

Luego,

las coordenadas del punto M son.

M (1, 1 / 2)b)

Como entonces

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P,

se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6) :

Luego, las coordenadas del punto P, son : P

Ejercicio 3

Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r.

- Solución :

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .

Para la

recta n, se tiene y = (tan 45º) .

Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene : y = (tan 135º) x = ( - tan 45º).

X = - 1.

X Esto es,

y = - xAhora, como

el punto P(1, 3) g r, se tiene queLuego,

y = 3x es la ecuación de la recta r.

Ejercicio 4

Escribir la

ecuación de las rectas l, m, n y r .

- Solución :

Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1.

Luego, la ecuación de la recta l es : y = x + 1.

Para la recta m, b = 1

Por lo

tanto, y = - x + 1 es la ecuación de la recta m.

También para la recta n, b = - 2 y la ecuación de

la recta n, tiene la forma, y = mx – 2.

Como el punto (2, 0)n, entonces satisface

su ecuación, es decir, 0 = 2m – 2 , de donde m = 1.

Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta

n.

Para la

recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación : y = 2x + 2.

Ejercicio 5

Determine las ecuaciones de las rectas l y r.

- Solución :

Para la recta l, se tiene : y – 3 = ml (x + 1).

Pero ml = tan 135º = - tan 45º = - 1Luego, y – 3 = - (x + 1)ó

x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la

recta r se tiene : y – 3 = mr (x + 1).

Pero, mr = x

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0

representa la ecuación de la recta r.

Ejercicio

6

Obtener

la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B ( - 2, 1).

Determine

el intercepto de la recta con el eje y - Solución :

La ecuación de l viene dada por :

3y – 9 = 2x – 2 o también,

2x – 3y + 7 = 0 (1)La

ecuación (1) corresponde a la recta pedida.

Para hallar el intercepto b de la recta

con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo :

Ejercicio

7

Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y

l4.

- Solución :

Para l1 se tiene : a = 1, b = - 1

Luego, es la ecuación de l1, es decir,

x – y = 1

Para l2 : , de donde

Para l3 : , es decir, x + y = 1Finalmente, para l4de donde x + y = - 1

Ejercicio

8

Usando la forma general, determine la ecuación de

la recta que pasa por los puntos P1 ( - 1, - 4) y P2 (5, 1) - Solución :

Suponga

que la recta pedida tiene por ecuación : Ax + By + C = 0 (1).

Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus

coordenadas satisfacen la ecuación (1).

Esto es :

A( - 1) + B( - 4) + C = 0 ó - A – 4B + C = 0 (2)A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)

Resolviendo

simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C

obtenemos : y

Reemplazando los valores de A y B en (1) se

obtiene : óDividiendo ésta última igualdad

por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta

pedida.

Ejercicio

9

Dada la

recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por : 3x + 4y – 5 = 0.

Determinar :

a)

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

B) La ecuación de la recta que

pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

- Solución :

Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular

a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).

Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y

l2 respectivamente.

Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = - 3 / 4 se sigue que m1 = - 3 / 4.

Ahora, usando la forma punto – pendiente

(Sección 4.

4. 3.

) de la ecuación de la recta, se tiene para l1 :

y simplificándola se puede escribir en la forma general :

3x + 4y – 11 = 0b) Como l2

u l1 , entonces m2 = - 1 / m y como m = - 3 / 4, se sigue que m2 = 4 / 3.

Usando nuevamente la forma punto – pendiente se

tiene para l2 : y simplificando se puede escribir en la forma general : 4x – 3y + 2 = 0

3x + 4y – 11 = 0.