La ecuación lineal que permite cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que la calificación máxima siga siendo 100, pero la media (promedio) sea 80 en lugar de 56 es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B11%7Dx%2B%5Cfrac%7B600%7D%7B11%7D" />
Explicación paso a paso : La función y = mx + b es la expresión de una línea recta con pendiente m y que intersecta al eje y en el valor y = b.
La pendiente, m, de la recta que pasa por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) viene dada por :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D" />
La ecuación punto - pendiente de la recta, de pendiente m y que pasa por el punto (x₁, y₁), viene dada por :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%20-%20y_%7B1%7D%29%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29" />
Con estas expresiones y las condiciones dadas, procedemos : (a) Determine una ecuación lineal que prediga el cambio de la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que la calificación máxima siga siendo 100, pero la media (promedio) sea 80 en lugar de 56.
Sugerencia : quiere que 56 se convierta en 80 y 100 permanezca como 100.
Considere los puntos (56, 80) y (100, 100), y de manera más general, (x, y), donde x es la calificación anterior y y la nueva.
Atendiendo la sugerencia y las ecuaciones previas vamos a hallar la ecuación lineal requerida : Pendiente : (x₁, y₁) = (56, 80) (x₂, y₂) = (100, 100)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B100-80%7D%7B100-56%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B11%7D" />
La ecuación punto - pendiente de la recta : m = 5 / 11 (x₁, y₁) = (56, 80)
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%20-%20y_%7B1%7D%29%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%20-%2080%29%3D%28%5Cfrac%7B5%7D%7B11%7D%29%28x-56%29" />
⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B11%7Dx%2B%5Cfrac%7B600%7D%7B11%7D" />
(b) Si en la nueva escala 60 es la calificación más baja para acreditar, ¿cuál fue la calificación más baja para acreditar en la escala original?
Para responder (b) vamos a sustituir en la expresión obtenida en (a) el valor en la nueva escala (y = 60) y despejamos el valor correspondiente en la escala anterior (x) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=60%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B11%7Dx%2B%5Cfrac%7B600%7D%7B11%7D" /> ⇒
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=660%3D5x%2B600" /> ⇒
x = 12La calificación más baja para acreditar en la escala original era de 12 puntos.