Por que puedes hacer las operaciones de unión, intersección y diferencia entre intervalos?

Respuesta : Unión de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su unión es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al primer intervalo, y todos los elementos que pertenecen al segundo.

Unión, intersección y complementario de intervalos

Unión de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su unión es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al primer intervalo, y todos los elementos que pertenecen al segundo.

La unión de los intervalos y se denota por y se calcula :

En función del orden en que se encuentren los números y el resultado será uno u otro.

Al ser y dos intervalos, necesariamente y , pero puede cambiar la posición relativa de los extremos de un intervalo respeto a los extremos del otro.

De esta forma, podemos encontrarnos la casuística siguiente :

Si entonces la unión da como resultado el conjunto formado por ambos intervalos :

El resultado será el mismo si Si , tenemos que el intervalo está incluido en , entonces,

Análogamente, si , obtenemos que .

Es decir, si un intervalo está incluido en otro, la unión de ambos es igual al intervalo mayor.

Si , entonces tenemos que

Pero al ser y , tenemos que ambos intervalos se sobreponen de tal forma que nos queda un único intervalo :

De igual forma, si obtenemos que :

Observemos ahora que la unión de intervalos no tiene por qué ser siempre un solo intervalo.

Además para el caso de intervalos no abiertos, ya sean cerrados o mixtos, el resultado es análogo, solamente hay que tener en cuenta que las desigualdades estrictas seran desigualdades no estrictas.

Ejemplo

Veamos por ejemplo la unión entre los intervalos y :

Por lo tanto, En este caso la unión de dos intervalos nos ha dado un intervalo.

Ejemplo

Otro ejemplo, veamos la unión de los intervalos y :

Y esta expresión no se puede simplificar más, con lo que la unión de los intervalos y nos queda como

Intersección de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su intersección es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos intervalos.

Complementario

El paso a complementario es una operación uno - ária, es decir, que afecta a un único intervalo.

Dado un intervalo cualquiera su complementario es el conjunto de números que no pertenecen al intervalo.

Explicación paso a paso :