Para la sucesión 6, 15, 28, 45, 66¿Que valor toma Y cuando n = 20?

Copiaré algunos párrafos de otra respuesta que tengo aquí sobre otra progresión similar a esta.

Verás que la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando de 4 en 4 de manera que aquí tenemos una sucesión dentro de otra sucesión.

Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Los términos que continúan la sucesión, partiendo de que entre los dos últimos términos que nos dan existe una diferencia de 66 - 45 = 21, se deduce que hay que sumar 25unidades - - - 4 más - - - a 66 para obtener el siguiente término, es decir que después del 66 vendría el 66 + 25 = 91 .

Después sumaríamos 25 + 4 = 29 unidades y tendríamos 91 + 29 = 113 .

Y así sucesivamente.

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella.

Veamos.

Términos : 1º 2º 3º 4º 5º

Prog.

Inicial : 6 15 28 45 66

Diferencia 1 : + 9 + 13 + 17 + 21 ⇒ (1er.

Orden)

Diferencia 2 : + 4 + 4 + 4 ⇒ (2ºorden)

Fíjate en lo que decía arriba.

La diferencia 1 es creciente y forma una nueva sucesión.

La diferencia 2 es fija sobre la sucesión anterior que es aritmética.

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general(o enésimo) debe tener esta forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Dan%5E2%2Bbn%2Bc" />

.

Expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrito arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes (a, b, c) se hace esto :

1er.

Térm.

De prog.

Inicial = 6 .

Lo llamo C

Diferencia 1 = - - - - - - - - - - - - - - - + 9 .

Lo llamoB

Diferencia 2 = - - - - - - - - - - - - - - - + 4 .

Lo llamoA

Y ahora hay que acudir a esta expresión que sustituye los coeficientes (a, b, c) por otros donde aparecen esas mayúsculas de arriba :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%20%2An%5E2%2B%28B-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%2AA%29%2An%2B%28A-B%2BC%29" />

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas.

Alguien muy inteligente debió deducirla pero no soy yo.

El caso es que sustituiré las letras A, B, C, por sus valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla

o fórmula del término n - ésimo.

Sustituyo ahora por los valores especificados.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%20%2An%5E2%2B%289-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%2A4%29%2An%2B%284-9%2B6%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D2n%5E2%2B3n%2B1" />

Teniendo la fórmula del término general de esta sucesión, sólo queda sustituir "n" por 20 para saber la primera respuesta.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7B20%7D%20%3D2%2A20%5E2%2B3%2A20%2B1%3D861" /> (respuesta a la 1ª pregunta)

Para la 2ª pregunta, se sustituye lo que se conoce.

Nos dice que el valor del término que buscamos es 1326 así que lo sustituyo en la fórmula.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D1326%3D2n%5E2%2B3n%2B1%20" /> .

Se resuelve como ec.

De 2º grado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2n%5E2%2B3n-1325%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bn_1%3D%5C%20%20%5Cfrac%7B-3%2B103%7D%7B4%7D%3D%5C%2025%20%7D%20%5Catop%20%7Bn_2%3D%20%5C%20%20%5Cfrac%7B-3-103%7D%7B4%7D%3D%5C%20-26%2C5%7D%7D%20%5Cright.%20" />

De las dos soluciones sólo es válida la positiva ya que la progresión es creciente y por tanto no cabe una solución negativa.

Así pues, la respuesta a la 2ª pregunta es : 1326 = a₂₅, es decir que n = 25

Saludos.

PD : Si no se visualizan bien algunas operaciones y te aparecen palabrejas como "tex" que no significan nada, actualiza la página con F5 y desaparecerán.