Para f(x) = 3x ^ 2 + 7x + 9, determine todos los valores de a para los que f(a) = 7?

¡Buenas!

Nos dan la siguiente función.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D3x%5E%7B2%7D%2B7x%2B9" />

y el problema nos pide, una función con variable "a".

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D3x%5E%7B2%7D%2B7x%2B9%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Cambiamos%5C%20la%5C%20variable%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20f%28a%29%3D3a%5E%7B2%7D%2B7a%2B9%20" />

pero, esta función debe ser igual a 7.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28a%29%3D7%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20f%28a%29%3D3a%5E%7B2%7D%2B7a%2B9%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203a%5E%7B2%7D%2B7a%2B9%20%3D7%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203a%5E%7B2%7D%2B7a%2B2%3D0" />

Hemos formado una ecuación cuadrática, esto nos ayudará a encontrar los valores de "a", que cumplan la condición que nos piden.

- Fórmula cuadrática :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cdfrac%7B-%20%5C%20b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D%20-4ac%7D%7D%7B2a%7D" />

Reemplazando .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20%2B%20%5Csqrt%7B7%5E%7B2%7D%20-4%283%29%282%29%7D%7D%7B2%283%29%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20%2B%20%5Csqrt%7B25%7D%7D%7B6%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20%2B%205%7D%7B6%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-1%7D%7B3%7D%20" />

Ya tenemos un valor de "a".

Reemplazando .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B2%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20-%20%5Csqrt%7B7%5E%7B2%7D%20-4%283%29%282%29%7D%7D%7B2%283%29%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B2%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20-%20%5Csqrt%7B25%7D%7D%7B6%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B2%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B-%20%5C%207%20-%205%7D%7B6%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B2%7D%20%3D%20-2" />

Con esto, concluimos con el problema, debido a que es una ecuación cuadrática, solo puede presentar un máximo de dos soluciones.

(en los reales)

RESPUESTA

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%20%5C%26%5C%20-2%20%7D" />.