Optimizacion : Se debe fabricar una caja sin tapa a partir de un cuadrado de cartón, cortando cuadrados de las esquinas y doblando hacia arriba las cejas formadas. Calcula el volumen máximo que puede tener esa caja.
En resumen
RESULTADO El volumen máximo que puede tener esa caja es de : Vcaja = L³ / 6 ANÁLISIS Como dato nos dan un cuadrado de cartón de lado L, donde L es una constante conocida. Al cuadrado de cartón se le cortan unos cuadrados en las equinas como indica la imagen adjunta.
RESULTADO
El volumen máximo que puede tener esa caja es de : Vcaja = L³ / 6
ANÁLISIS
Como dato nos dan un cuadrado de cartón de lado L, donde L es una constante conocida.
Al cuadrado de cartón se le cortan unos cuadrados en las equinas como indica la imagen adjunta.
Esto nos deja que la caja va a tener las siguientes medidas :
Largo : L - 2x
Ancho : L - 2x
Alto : x
Aparte, conocemos que el Volumen de un cubro es igual al producto de su largo por su ancho y su alto :
Vcaja = (L - 2x).
(L - 2x).
X
Vcaja = (L - 2x)².
X
Vcaja = (L² - 4Lx + 4x²).
X
Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x
Una vez conocida la función para calcular el volumen en función de x, para saber cual es el valor optimo debemos hallar su primera derivada y la igualamos a 0 :
V'caja = 12x² - 8Lx + L² = 0
De allí, resolvemos la ecuación de segundo grado donde a = 12, b = - 8L y c = L² :
x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-%28b%29%2B%2F-%20%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D%20-%204.a.c%20%7D%20%7D%7B2.a%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-%28-8L%29%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28-8L%29%5E%7B2%7D%20-%204.12.L%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%7D%7B2.12%7D%20" />
x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28%2064L%5E%7B2%7D%20%20-%2048.L%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%7D%7B24%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28%2016L%5E%7B2%7D%7D%29%20%7D%7B24%7D%20" />
x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%204L%20%7D%7B24%7D%20%20" />
x₁ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L%2B%20%204L%20%7D%7B24%7D%20%20" />
x₁ = 0, 5 L
x₂ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L-%204L%20%7D%7B24%7D%20" />
x₂ = 0, 166L
Luego, calculamos cual es la segunda derivada de la función del volumen de la caja para aplicar el criterio de la segunda derivada, para conocer si existe un máximo o un mínimo :
V''caja = 24x - 8L < 0
V''caja(x₁) = 24.
(0, 5L) - 8L
V''caja(x₁) = 12L - 8L
V''caja(x₁) = 4L > 0
V''caja(x₂) = 24.
(0, 166L) - 8L
V''caja(x₂) = 4L - 8L
V''caja(x₂) = - 4L < 0
Sustituimos el valor de x₂ en la ecuación original de volumen y obtenemos el volumen máximo :
Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x = 4(0, 166L)³ - 4L(0, 166L)² + L²(0, 166L)
Vcaja = 2L³ / 3 - 2L³ / 3 + L³ / 6
Vcaja = L³ / 6.
147÷3 = 49 b×a = 49 7×7 = 49 Perímetro : 7×4 = 28 La cartulina original tenía un perímetro de 28 cm y un área de 49 cm ^ 2.
Sea L el lado de la lámina. Se forma un prisma de base cuadrada y altura 25 cm L - 50 es cada lado de la base. V = (L - 50)² . 25 = 121 ; obtenemos raíz cuadrada : (L - 50) . 5 = 11 ; L - 50 = 11 / 5 = 2, 2 Por lo tanto…