Optimizacion :Se debe fabricar una caja sin tapa a partir de un cuadrado de cartón, cortandocuadrados de las esquinas y doblando hacia arriba las cejas formadas?

RESULTADO

El volumen máximo que puede tener esa caja es de : Vcaja = L³ / 6

ANÁLISIS

Como dato nos dan un cuadrado de cartón de lado L, donde L es una constante conocida.

Al cuadrado de cartón se le cortan unos cuadrados en las equinas como indica la imagen adjunta.

Esto nos deja que la caja va a tener las siguientes medidas :

Largo : L - 2x

Ancho : L - 2x

Alto : x

Aparte, conocemos que el Volumen de un cubro es igual al producto de su largo por su ancho y su alto :

Vcaja = (L - 2x).

(L - 2x).

X

Vcaja = (L - 2x)².

X

Vcaja = (L² - 4Lx + 4x²).

X

Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x

Una vez conocida la función para calcular el volumen en función de x, para saber cual es el valor optimo debemos hallar su primera derivada y la igualamos a 0 :

V'caja = 12x² - 8Lx + L² = 0

De allí, resolvemos la ecuación de segundo grado donde a = 12, b = - 8L y c = L² :

x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-%28b%29%2B%2F-%20%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D%20-%204.a.c%20%7D%20%7D%7B2.a%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-%28-8L%29%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28-8L%29%5E%7B2%7D%20-%204.12.L%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%7D%7B2.12%7D%20" />

x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28%2064L%5E%7B2%7D%20%20-%2048.L%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%7D%7B24%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%20%5Csqrt%7B%28%2016L%5E%7B2%7D%7D%29%20%7D%7B24%7D%20" />

x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L%2B%2F-%204L%20%7D%7B24%7D%20%20" />

x₁ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L%2B%20%204L%20%7D%7B24%7D%20%20" />

x₁ = 0, 5 L

x₂ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%208L-%204L%20%7D%7B24%7D%20" />

x₂ = 0, 166L

Luego, calculamos cual es la segunda derivada de la función del volumen de la caja para aplicar el criterio de la segunda derivada, para conocer si existe un máximo o un mínimo :

V''caja = 24x - 8L < 0

V''caja(x₁) = 24.

(0, 5L) - 8L

V''caja(x₁) = 12L - 8L

V''caja(x₁) = 4L > 0

V''caja(x₂) = 24.

(0, 166L) - 8L

V''caja(x₂) = 4L - 8L

V''caja(x₂) = - 4L < 0

Sustituimos el valor de x₂ en la ecuación original de volumen y obtenemos el volumen máximo :

Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x = 4(0, 166L)³ - 4L(0, 166L)² + L²(0, 166L)

Vcaja = 2L³ / 3 - 2L³ / 3 + L³ / 6

Vcaja = L³ / 6.