Obtención de (sh x) ^ 2 + (ch x) ^ 2 y de (sh x) ^ 2 - (ch x) ^ 2?

Veamos.

Para la primera de las expresiones no hay un resultado notable.

Para las trigonométricas sí, la suma de los cuadrados de senx y cosx vale 1 (identidad pitagórica)

La diferencia de los cuadrados de shx y chx vale - 1

shx = (e ^ x - e ^ - x) / 2 ; (shx) ^ 2 = 1 / 4 [e ^ (2x) - 1 + e ^ ( - 2x)]

chx = (e ^ x + e ^ ( - x) / 2 ; (chx) ^ 2 = 1 / 4 [e ^ (2x) + 1 + e ^ ( - 2x)]

Si las restamos nos queda (shx) ^ 2 - (chx) ^ 2 = - 1

Si invertimos los términos queda la relación equivalente a las trigonométrias :

(chx) ^ 2 - (shx) ^ 2 = 1

La suma de los cuadrados no tiene equivalencia :

(shx) ^ 2 + (chx) ^ 2 = [e ^ (2x) + e ^ ( - 2x)] / 2

Saludos Herminio.