Necesito resolver por induccion 1?
Necesito resolver por induccion 1. 2 + 2. 3 + . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2).
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 1 votos · mejor respuesta de Viivodetusonriisa
Cómo hacerlo
- Lee el enunciado e identifica los datos y lo que te piden.
- Recuerda la fórmula o el método adecuado para resolver el tema.
- Aplica los pasos de forma ordenada, sin saltarte ninguno.
- Calcula con cuidado y anota el resultado con sus unidades.
- Comprueba la solución sustituyendo o repasando el procedimiento.
En resumen
Primero repasamos teoría (por si acaso). Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos : 1. Demostrar que P(n) se cumple para el primer elemento. 2.
Respuestas de la comunidad
Mejor respuesta
Primero repasamos teoría (por si acaso).
Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos :
1.
Demostrar que P(n) se cumple para el primer elemento.
2. Demostar que si P(n) es cierto (hipótesi inicial) también lo es P(n + 1).
Si conseguimos realizar correctamente estas dos propiedades, quedará demostrado por inducción que esta igualdad es cierta.
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Supondré que te piden demostrarlo para n≥1.
➊ Para n = 1 se ha de verificar la igualdad
1·(1 + 1) = 1·(1 + 1)·(1 + 2) / 3 ⇒ 2 = 1·2·3 / 3 ⇒ 2 = 2
Vemos que cumple la primera propiedad.
Así que ahora pasaremos a comprovar la segunda.
❷ Suponiendo que la igualdad 1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) / 3 es cierta (esta será nuestra hipótesi inicial), hemos de demostrar que también se cumple P(n + 1) * [anotación al final]
1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1) + (n + 1)(n + 1 + 1) = (n + 1)(n + 1 + 1)(n + 1 + 2) / 3
Operamos.
[1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1)] + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) / 3
Si te fijas, lo que hay entre corchetes es nuestra hipótesi inicial, así que lo podemos sustituir por n(n + 1)(n + 2) / 3 quedando :
n(n + 1)(n + 2) / 3 + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) / 3
Nos podemos cargar todos los (n + 1)(n + 2) de los dos lados de la igualdad y nos queda :
n / 3 + 1 = (n + 3) / 3
Operando.
(n + 3) / 3 = (n + 3) / 3 - - > Tal y como quería demostrar.
Así pues, podemos decir que esta igualdad es cierta por inducción.
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Nota adicional :
La expresión de 1·2 + 2·3 + 3·4 + .
+ n(n + 1) se puede escribir como ∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n].
Esta expresión sería P(n).
Así pues nos queda que P(n + 1) será :
∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n + 1] que se podría descomponer de la siguiente forma :
∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n] + (n + 1)(n + 2).
Donde la primera parte de la expresión es P(n) (nuestra hipótesi inicial).
De aquí podemos seguir operando y llegaríamos al mismo resultado, pero de una forma más elegante.
Preguntas frecuentes
Necesito resolver por induccion 1?
Primero repasamos teoría (por si acaso). Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos : 1.