Necesito resolver por induccion 1?
Necesito resolver por induccion 1. 2 + 2. 3 + . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2).
En resumen
Primero repasamos teoría (por si acaso). Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos : 1. Demostrar que P(n) se cumple para el primer elemento. 2.
Mejor respuesta
Primero repasamos teoría (por si acaso).
Para poder demostrar que la igualdad es cierta a partir del método de inducción hace falta seguir dos pasos :
1.
Demostrar que P(n) se cumple para el primer elemento.
2. Demostar que si P(n) es cierto (hipótesi inicial) también lo es P(n + 1).
Si conseguimos realizar correctamente estas dos propiedades, quedará demostrado por inducción que esta igualdad es cierta.
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Supondré que te piden demostrarlo para n≥1.
➊ Para n = 1 se ha de verificar la igualdad
1·(1 + 1) = 1·(1 + 1)·(1 + 2) / 3 ⇒ 2 = 1·2·3 / 3 ⇒ 2 = 2
Vemos que cumple la primera propiedad.
Así que ahora pasaremos a comprovar la segunda.
❷ Suponiendo que la igualdad 1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) / 3 es cierta (esta será nuestra hipótesi inicial), hemos de demostrar que también se cumple P(n + 1) * [anotación al final]
1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1) + (n + 1)(n + 1 + 1) = (n + 1)(n + 1 + 1)(n + 1 + 2) / 3
Operamos.
[1·2 + 2·3 + .
+ n(n + 1)] + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) / 3
Si te fijas, lo que hay entre corchetes es nuestra hipótesi inicial, así que lo podemos sustituir por n(n + 1)(n + 2) / 3 quedando :
n(n + 1)(n + 2) / 3 + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) / 3
Nos podemos cargar todos los (n + 1)(n + 2) de los dos lados de la igualdad y nos queda :
n / 3 + 1 = (n + 3) / 3
Operando.
(n + 3) / 3 = (n + 3) / 3 - - > Tal y como quería demostrar.
Así pues, podemos decir que esta igualdad es cierta por inducción.
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Nota adicional :
La expresión de 1·2 + 2·3 + 3·4 + .
+ n(n + 1) se puede escribir como ∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n].
Esta expresión sería P(n).
Así pues nos queda que P(n + 1) será :
∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n + 1] que se podría descomponer de la siguiente forma :
∑k(k + 1) [desde k = 1 hasta k = n] + (n + 1)(n + 2).
Donde la primera parte de la expresión es P(n) (nuestra hipótesi inicial).
De aquí podemos seguir operando y llegaríamos al mismo resultado, pero de una forma más elegante.