Los puntos A(2, 3) , B( a, - 2) y C(5, 0) forman un triángulo rectángulo recto en A?
Los puntos A(2, 3) , B( a, - 2) y C(5, 0) forman un triángulo rectángulo recto en A. El valor de a es?
En resumen
Para que se cumpla, los vectores AB y BC deben ser perpendiculares.
Mejor respuesta
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Para que se cumpla, los vectores AB y BC deben ser perpendiculares.
Los vectores tienen las siguientes coordenadas :
AB (a - 2, - 2 - 3) ; BC (5 - a, 0 - ( - 2))
AB(a - 2, - 5) ; BC(5 - a, 2)
Una vez tenemos sus coordenadas, debemos conocer la condición que cumplen dos vectores perpendiculares :
AB⊥BC⇔<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BAB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B%20m_%7BBC%7D%20%7D%20" />
Dicho de otra forma, dos vectores son perpendiculares siempre y cuando sus pendientes son inversas y opuestas.
La pendiente de un vector se calcula dividiendo su coordenada y entre su coordenada x, así que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BAB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-5%7D%7Ba-2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20m_%7BBC%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5-a%7D%20" />
Ahora debemos utilizar la condición de perpendicularidad.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7BAB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B%20m_%7BBC%7D%20%7D%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bm_%7BAB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-5%7D%7Ba-2%7D%7D%20%5Catop%20%7Bm_%7BBC%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5-a%7D%7D%7D%20%5Cright.%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B-5%7D%7Ba-2%7D%3D%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5-a%7D%7D%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B-5%7D%7Ba-2%7D%3D%20%5Cfrac%7B-%285-a%29%7D%7B%202%7D%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202%2A%28-5%29%3D-%285-a%29%28a-2%29%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-10%3D%28-5%2Ba%29%28a-2%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20-10%3D-5a%5E2%2B10%2Ba%5E2-2a%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-10%3D-4a%5E2-2a%2B10%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204a%5E2%2B2a-20%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202a%5E2%2Ba-10%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%3D%20%5Cfrac%7B-1%5Cpm%20%5Csqrt%7B1-4%2A2%2A%28-10%29%7D%20%7D%7B2%2A2%7D%20%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%20%5Cfrac%7B-1%5Cpm%20%5Csqrt%7B1%2B80%7D%20%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%3D%20%5Cfrac%7B-1%5Cpm9%7D%7B4%7D%20%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba%3D2%7D%20%5Catop%20%7Ba%3D%20%5Cfrac%7B-10%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-5%7D%7B2%7D%20%7D%7D%20%5Cright.%20" />
Obtenemos dos posibles resultados para el valor de a.
Representarlos puntos A, B y C te ayudará a entenderlo mejor.
Si tomamos como solución a = 2, el ángulo recto está en el vértice B.
Si tomamos como solución a = - 5 / 2, el ángulo recto está en el vértice A, con lo cual es la solución que estábamos buscando.