Los puntos A( 2 ; 4 ) y B( 4 ; 1 ) son los vertices de los angulos agudos de un triangulo rectangulo , hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el tercer vertice C, dividen al angulo recto ?

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos :

1) Solo se tomará una solución de las 2 posibles que arroja este problema.

Se debe formar el vector AB y determinar su ángulo con el eje de las abscisas.

AB = (4 - 2, 1 - 4) = (2, - 3)

θ = Arctg ( - 3 / 2 ) = - 56, 31º

Como el ángulo en el punto A es de 36º se suma del ángulo θ para obtener una de las soluciones :

α = - 56, 31 + 36 = - 20, 31 º

De igual forma se obtiene el ángulo formado por BC, que en este caso es el complementario de α.

Β = 90 - 20, 31 = 69, 69º

2) Se deben obtener las ecuaciones de las rectas de AC y BC.

Para esto hay que conseguir la pendiente y el corte con el eje Y de cada recta.

MAC = Tg( - 20, 31º) = - 0, 37

mBC = Tg(69, 69º) = 2, 702

Como el punto A pertenece a la recta LAC y el punto B a la recta LBC es posible obtener el corte con el eje de las ordenadas.

3) Se debe encontrar el punto C igualando ambas rectas y despejando tanto X como Y.

- 0, 37X + 4, 74 = 2, 702X - 9, 81

X = 4, 736

Y = 2, 99

El punto C es (4, 736 ; 2, 99)

4) Al dividir el ángulo recto en 3 partes iguales se tiene que :

λ = 90 / 3 = 30 º

Las rectas que se deben encontrar tienen que tener 30º con respecto a sus adyacentes.

Se consigue la pendiente de cada una haciedo uso de los 30º.

Tg(mL1) - Tg( - 0, 37) = 30º

mL1 = 0, 171

Tg(2, 702) - Tg(mL2) = 30º

mL2 = 0, 83

Sustituyendo el punto C en la ecuación de cada recta se tiene que :

L1 : 0, 171X + 2, 18

L2 : 0, 83X - 0, 94

Con lo cual L1 y L2 son las rectas que dividen en 3 ángulos iguales al ángulo recto.