Los numeros primos p, q, r satisfacen las ecuaciones pq + pr = 80 pq + qr = 425 hallar el valor de p + q + r?

Dados los números primos p, q, r, que satisfacen las ecuaciones pq + pr = 80 ; pq + qr = 425, el valor de p + q + r es igual a 42.

Procedimiento :

Datos :

pq + pr = 80 Ecuación 1

pq + qr = 425 Ecuación 2

• Despejamos p en la primera ecuación :

pq + pr = p(q + r) = 80 , entonces p|80 = 2⁴ x 5 • Despejamos q en la segunda ecuación :

pq + qr = q( p + r) = 425, entonces q|425 = 5² x 17

• Para lograr despejar r, restamos la ecuación 1 de la 2 : pq + qr = 425 - (pq + pr = 80) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

pq – pq + qr – pr = 425 – 80

qr − pr = 345

r(q − p) = 345

r|345 = 3 x 5 x 23

Entonces, los valores posibles son :

q = 2 ó 5 p = 5 ó 17

r = 3 ó 5 ó 23 - Comencemos probando en la primera ecuación el valor de p = 2

2(q + r) = 80

q + r = 40

Entonces q puede ser 17 y r puede ser 23 - Probemos ahora p = 5

5(q + r) = 80

q + r = 16

No hay valores de q y / o r que puedan dar esta cifra.

Conclusión : p = 2 ; q = 17 ; r = 23 p + q + r = 2 + 17 + 23 = 42.