Longitud de la circunferencia teoria?

La teoria es bastante complicada ya que no observas de donde salen los numeros.

Para sacar la Longitud de la circunferencia que es 2(pi)r.

Se trata la integral siguiente : L = Integral de a a b de la raíz cuadrada de 1 mas la primera derivada de la función por un dx.

Esto nos lleva a mirar que la función de la circunferencia es r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2.

De donde sale que y = la raíz cuadrada der ^ 2 - x ^ 2.

Como se dice que es la primera derivada, tenemos que derivar esta función.

Cuando llegamos a la derivada de f(x) = - x / (r ^ 2 - x ^ 2) ^ (1 / 2).

Ahora la metemos en la formula que te di.

Así las cosas llegamos a que L = 4 la integral de cero a r de la raíz cuadrada de r al cuadrado entre r al cuadrado menos x al cuadrado.

Y es cuatro veces porque son cuatro cuartos que tiene la circunferencia y si llegamos a uno tenemos el todo.

Luego de este cuento, llegamos a que esta integral no es tan fácil de calcular.

Y recurrimos a la sustitución trigonométrica donde dibujamos un triangulo rectángulo con cateto x = raíz de r al cuadrado menos x al cuadrado, un cateto y = x y la hipotenusa que es igual a r.

Con esto, buscamos la relación mas fácil.

Y tenemos que la mas fácil de usar es el seno de teta = x / r.

Con esto en mente despejamos a x = rsen(teta) y su derivada es dx = rcos(teta) d(teta).

Pero hay que recordar que como hemos hecho una sustitución en términos del angulo, debemos también cambiar sus limites y esto nos lleva a decir que cuando x = 0 que valor toma teta.

Asi, sen (teta) = 0 y (teta) = 0.

Y cuando x = r sen(teta) = 1 y (teta) = arcseno (1) = (pi) / 2.

Con estos limites cambiados nuestra integral queda ahora como : L = 4 veces la intgegral de cero a pi / 2 de r ^ 2 cos (teta) d(teta) entre la raiz cuadrada de r ^ 2(uno menos sen cuadrado de (teta).

Y como 1 - sencuadrado de (teta) = cos cuadrado de (teta) nos queda que : L = 4r(teta) evaluado de cero a pi / 2.

Y queda finalmente que L = 2(pi)r.

La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el valor de pi multiplicado por el radio.

Y colorin colorado este cuento a finalizado.

¡Lo que se da permanece!