La suma de los n primeros números naturales es 861?

Progresión aritmética (PA).

Cada término se calcula a partir de sumar una cantidad fija al anterior y esa cantidad es la diferencia "d"

En este caso,

d = 1

a₁ = 1 (primer término de la PA)

Se plantea sistema 2 ecuaciones con 2 incógnitas donde una incógnita es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> y la otra es "n".

Se usa la fórmula del término general para construir la primera ecuación y la fórmula de suma de términos para construir la segunda.

Término general de una PA :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%20...%5C%20%20sustituyendo...%20%5C%5C%20a_n%3D1%2B%28n-1%29%2A1%20%5C%5C%20a_n%3Dn" />

Suma de términos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%20%5C%20sustituyendo%5C%20y%5C%20resolviendo...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20861%3D%5Cfrac%7B%281%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201722%3D%281%2Ba_n%29%2An%20%5C%20%20...%5C%20sustituyendo%20%5C%20%22a_n%22%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201722%3D%281%2Bn%29%2An%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%5E2%2Bn-1722%3D0%20%5C%20por%5C%20formula%5C%20general%5C%20ec.%5C%20cuadraticas...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n_1%2C%5C%20n_2%3D%20%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7B%20b%5E%7B2%7D%20-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bn_1%3D%20%5Cfrac%7B-1%2B83%7D%7B2%7D%3D%5C%2041%20%7D%20%5Catop%20%7Bn_2%3D%20%5Cfrac%7B-1-83%7D%7B2%7D%3D%5C%20-42%20%7D%7D%20%5Cright.%20" />

Me quedo con la solución positiva de 41 términos.

Es decir.

N = 41

La negativa se desestima porque la progresión es de números naturales y en este conjunto no existen los números negativos.

Saludos.