La suma de dos números positivos es 20. Hallar los números si (a) su producto es el máximo (b) si la suma de sus cuadrados es minima, (c) el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro es máximo. Ayudaa!
Respuesta : f(x) = x³·(400 - 40x + x²) ∴ f(x) = x⁵ - 40x⁴ + 400x³ f'(x) = 5x⁴ - 160x³ + 1200x² f'(x) = x²·(5x² - 160x + 1200) = 0 x₁, ₂ = 0 , x₃ = 20, x₄ = 12Explicación paso a paso :
Respuesta :
Para realizar estos ejercicios aplicaremos la teoría de optimización.
1 - Planteamos las condiciones.
A) x + y = 20 - - - - - - - - > y = 20 - x
b) f(x) = x·y - - - - - - - - - > f(x) = x·(20 - x)
Derivamos a f(x) e igualamos a cero.
F'(x) = 20 - 2x = 0 ∴ x = 10 x = 10∴ y = 10
2 - Planteamos condiciones :
a) x + y = 20 - - - - - - - - - > y = 20 - x
b) f(x) = x² + y² - - - - - - - - - - f(x) = x² + (20 - x)²
Derivamos f(x) e igualamos a cero.
F(x) = 2x² - 40x + 400 f'(x) = 4x - 40 = 0∴ x = 10 x = 10∴ y = 10
3 - Planteamos condiciones :
a) x + y = 20 - - - - - - - - - - - - - - > y = 20 - x
b) f(x) = x³·y² - - - - - - - - - - - - - > f(x) = x³·(20 - x)²
Derviamos a f(x) e igualamos a cero.
F(x) = x³·(400 - 40x + x²)∴ f(x) = x⁵ - 40x⁴ + 400x³ f'(x) = 5x⁴ - 160x³ + 1200x² f'(x) = x²·(5x² - 160x + 1200) = 0 x₁, ₂ = 0 , x₃ = 20, x₄ = 12
El valor que debemos escogerpara este caso es x₃ = 12, entonces y = 8.
Los valores máximos y mínimosse pueden verificar con la segunda derivada.
Respuesta : - Me podrías ayudar explicándome paso a paso xfavor Explicación paso a paso :
(x + y)² = x² + y² + 2xy 160² = x² + y² + 2xy El máximo producto es cuando x = y = 80 x² + y² = 12800.