La solución del problema de valor inicial y ^ '' - 3y ^ ' - 10y = 0, y(0) = 1, y ^ ' (0) = 12 es c_1 = 2 c_2 = - 1 PORQUE la solución particular de la ecuación es y = 2e ^ 5x - e ^ ( - 2x)?

Explicación :

Ecuación diferencial : Y’’ - 3·y’ - 10·y = 0 con condiciones de borde y(0) = 1, y’(0) = 12.

Primer paso es buscar las raíces características, por ello debemos transformar la ecuación diferencial

en un polinomio : n² - 3n - 10 = 0 (1)

En la expresión (1) lo que se realizo fue cambiar en la

ecuación diferencial r² = (y)’’ por

tanto r = y’ y r⁰ = y.

Esto se hace para obtener una ecuación lineal o cuadrática.

En este caso cuadrática.

De la expresión (1)

se buscan las raíces mediante la Resolvente o mediante un tanteo.

Se

aplicara un tanteo y se le recomendara aplicar la resolvente para verificar el

resultado.

El tanteo consiste en buscar dos números que multiplicados

den - 10 y sumados - 3.

Estos números serian n₁ = 5 y n₂ = - 2.

Una vez obtenida las raíces se debe verificar si estas raíces

son igual o son distintas.

Podemos ver que las raíces son distintas, por tanto

la solución general viene dada por la siguiente expresión : Y = C1·eⁿ¹ˣ + C2·

eⁿ²ˣ = C1·e⁵ˣ + C2· e⁻²ˣ (3)Donde : C1 y C2 son constantes de la ecuación generaln1 y n2 son las raíces de la ecuación característica.

Se deben encontrar los valores de las constantes C1 y C2.

Estas son constantes que deben colocarse debido a que se está buscando una

solución general.

Estos valores se conseguirán con los datos y(0) = 1 y y’(0) =

12.

Aplicamos en la expresión (3) el primer dato y(0) = 1 : 1 = C1·e⁵⁽⁰⁾ + C2· e⁻²⁽⁰⁾

Simplificando 1 = C1 + C2 (4)

Aplicamos en la expresión (3) el segundo dato Y’(0) = 12, para

ello derivamos la expresión 3 : Y’ = (C1·e⁵ˣ )' + (C2· e⁻²ˣ )' Y’ = 5·C1·e⁵ˣ - 2· C2· e⁻²ˣ 12 = 5·C1·e⁵⁽⁰⁾ - 2· C2· e⁻²⁽⁰⁾

Simplificando : 12 = 5C1 - 2C2 (5)

Usando el método de sustitución entre 4 y 5 para obtener los valores de C1 y C2, obtenemos que :

C1 = 2 y C2 = - 1

Sustituimos los valores de C1 y C2 en la ecuación 3.

Finalmente obtenemos : y(x) = 2·e⁵ˣ - e⁻²ˣ

Nota : La expresión(3) : Y = C1·eⁿ¹ˣ + C2· eⁿ²ˣ , es una expresión que ya esta demostrada para la resoluciónde ecuaciones diferenciales cuyas raícescaracterísticasson distintas, tal fue este caso.