Se trata de determinar la Profundidad de un Río a diferentes horas del día mediante una expresión trigonométrica dada.
Datos :
P = 3 Sen [πt - 4π / 6] + 8, ∀ 0 ≤ t ≤ 24
Se parte del principio que cuando t = 0 es la medianoche (0 : 00 horas = 12 am)
• ¿Qué profundidad tendrá el río a las 5 am y a las 5 p.
M? Se ingresa el tiempo “t” en la fórmula para obtener la profundidad (P) a esa hora específicamente.
Para cuando son las 5 am se tiene “t = 5”
P = 3 Sen [π5 - 4π / 6] + 8
Resolviendo.
P = 3 Sen [(30π - 4π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(26π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(13π) / 3] + 8
P = Sen (13π) + 8
P = Sen (2.
340) + 8
P = 0 + 8
P = 8 metros
Cuando son las 5 pm se tiene que “t = 17”
P = 3 Sen [π17 - 4π / 6] + 8
Resolviendo.
P = 3 Sen [(102π - 4π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(98π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(49π) / 3] + 8
P = Sen (49π) + 8
P = Sen (8.
820) + 8
P = 0 + 8
P = 8 metros
Tienen la misma profundidad en esas horas.
• ¿A qué hora la profundidad será de 8 m y 10 m?
Para esto se debe despeja el tiempo “t” de la fórmula.
P = 3 Sen [πt - 4π / 6] + 8
(P – 8) / 3 = Sen (πt - 4π / 6)
(P – 8) / 3 = Sen πt – Sen 4π / 6
(P – 8) / 3 + Sen 4π / 6 = Sen πt
Sen t = [(P – 8) / 3 + Sen 4π / 6] / π
t = ArcSen [(P – 8) / 3 + Sen 4π / 6] / π
Para una profundidad de 10 metros se tiene :
t = ArcSen [(10 – 8) / 3 + Sen 4π / 6] / π
t = ArcSen [2 / 3 + Sen 4π / 6] / π
t = ArcSen [(4 + Sen 4π) / 6] / π
t = ArcSen [(4 + Sen 720) / 6] / 180
t = ArcSen [(4 + 0) / 6] / 180
t = ArcSen [4 / 6] / 180
t = ArcSen [2 / 3] / 180
t = ArcSen (2 / 540)
t = ArcSen (1 / 270)
t = 0, 2122 horas
Para una profundidad de 8 metros se tiene :
t = ArcSen [(8 – 8) / 3 + Sen 4π / 6] / π
t = ArcSen [0 + Sen 4π / 6] / π
t = ArcSen [Sen (4π / 6)] / π
t = ArcSen (0, 8660) / 180
t = ArcSen 0, 00481
t = 0, 2756 horas
• ¿Cuál será la profundidad del río a las 12 p.
M, si la expresión cambia P = 3sen[πt - 2π / 3] + 8?
Las 12 pm es el mediodía, es decir, las 12 horas, por l oque la profundidad será :
P = 3 Sen [π12 - 4π / 6] + 8
Resolviendo.
P = 3 Sen [(72π - 4π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(68π) / 6] + 8
P = 3 Sen [(34π) / 3] + 8
P = Sen (34π) + 8
P = Sen (6.
120) + 8
P = 0 + 8
P = 8 metros.