La mas dificil del mundo : cuanto equivalen los factores?

El valor absoluto de un número enteroaes su magnitud, prescindiendo del signo.

Se escribey se define del siguiente modo : Observa la recta numérica : Los números + 3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero.

Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo.

Al número 3 se le llama valor absoluto de + 3 y –3, y se indica así : | + 3| = | - 3 | = 3Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo.

Se indica poniendo el número entero entre barras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROSPropiedades de clausuraSiexistentales que : y, de esto, De la clausura de la adición sobrese sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedadPara cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobrePara cualesquieraPropiedades asociativasLas propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobrese siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones.

Estas propiedades son : Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativasPuesto que [(m, n)] + [(p, q)] = [(m + p \ , \ n + q)] = [(p + m \ , \ q + n)] = [(p, q)] + [(m, n)] para cualesquieratenemos quePara cualesquieraEsta es lapropiedadconmutativa de la adición sobreEsta propiedad la tiene también la multiplicación : Para cualesquieraPropiedad distributivaSean los enteros [(a, b)], [(c, d)] y [(m, n)].

Tenemos = = = = = Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutrosEl cero, 0 = [(n, n)], tiene la característica de que para todo entero [(a, b)], y comoa + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturalesa, b, n, tenemosde dondepor lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobreEnpara todotérminos más sencillos, Se definecomo sigue : Vemos que, para todo entero [(a, b)], y, puesto queresulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobreEs decir, para todopt.

A + b _ cExistencia de elemento opuestoPara cada númeroexiste un elemento opuesto que denotaremos portal que : Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente comoque cumple obviamente la propiedad anterior : Unicidad del elemento opuestoAdemás este opuesto es único.

Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero.

Para verlo podemos suponer que existen dos opuestosyentonces sucede que : En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativasSeanya + b = a + c.

Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto : Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todoPara la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse unmétododistinto, ya que no todo elemento dees una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tantocon su multiplicación, no es un anillo de división.

La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de quees undominioíntegro.

Sean puesyab = acconTenemos queab - ac = 0, y de la propiedad distributivaa(b - c) = 0, o sea queb - c = 0, lo que demuestra queb = c.

Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente : Para todoconPropiedades de ordenSia = bEntoncesb = aPropiedad reflexiva del ordena = aPropiedad antisimétrica del ordenSia = byb = a, entoncesa = b.

Propiedad transitiva del ordenSia.